的线性组合可以得出每一家公司的Z值：
Zi?a0?a1xi1?a2xi2?a3xi3?...?anxin， （1.1） 其中，Zi是i公司的Z分值，
xi1,xi2,...,xin是i公司的n个自变量。
然后，根据组内公司数目和错误分类成本的先验概率计算出临界值。通过将各公司计算出的Z值和临界值进行比较，可以知道公司属于财务困境或是财务健康企业。
Altman（1968）选择了营运资本/总资产、留存收益/总资产、息税前收益/总资产、股票市场价值/债务账面价值、销售收入/总资产5个财务比率建立判别函数来区分财务困境和财务健康公司，在破产前1年预测精确度达到95%，前2年精确度达到72%。此外，类似的研究还有Dambolena和Khoury（1980）、 Laitimen（1991）等。
多元判别分析虽然得到广泛的应用，但是该方法也存在着一些问题，主要是其对预测变量的分布性质施加了一些统计上的限制。比如说，对于破产组和非破产组，预测变量的方差－协方差矩阵必须是相等的，预测变量必须遵循正态分布等。这使多元判别分析遭到诸多学者的批评。
三、线性概率模型
由于多元判别分析只能直接得出判别结果，无法估计出企业破产的风险。为了估计企业破产的概率，研究者设计了线性概率模型（LPM）。线性概率模型其实是普通最小二乘回归模型的一种特例，其因变量只能取两个值，1或者0。其模型的回归形式如下：
Pi??0??1Xi1??2Xi2...??mXim??i （1.2） 其中，自变量Xi1，Xi2...Xim是反映企业财务状况的指标。
?1财务困境企业Pi＝?
?0财务健康企业首先，从估计样本中利用最小二乘法(OLS)估计出系数?0，?1，?2，...?m，然后利用估计出的系数算出企业破产的概率，当它大于某个临界值yc时则认为企业属于财务困境企业，反之亦然。
我们发现，模型（1.2）中的回归系数除了截距外，都与多变量判别系数成固定比例，也就是说线性概率模型只是多变量判别分析（MDA）的一个特例。因此，我们上面所算出的LPM得分也只是判别得分的一个线性转换。所以虽然MDA与LPM的模型假设不同，但是分类的结
果却是相同的。但相对于MDA，LPM用于企业财务风险预警更方便（Theodossiou1991）。
LPM的应用存在两个主要的统计问题：（1）如果采用普通最小二乘法来估计式（1.2）的系
数，那么就必须假设残差项方差相同，如果出现异方差，那么OLS的系数估计虽是无偏但却是无效的。而且，如果残差项不是正态分布的，那么传统的显著性检验将没法用。不幸的是这两种情况在LPM的应用中都可能存在。（2）根据LPM计算出的概率有可能落在区间（0，1）之外，这很难加以解释。
Meyer和Pifer（1970）最早将LPM运用于银行业的财务风险预警，而Laitinen（1993）也曾作过相似的研究，将LPM运用于企业财务风险预警。
四、LOGISTIC和PPOBIT回归模型
由于MDA和LPM都受到统计假设的限制，为了克服这一局限性，研究人员引入了多元条件概率模型，并采用极大似然估计法进行参数估计。多元条件概率模型包括Logistic模型和Probit模型，两者的区别只在于累积概率函数不同。其主要优点是对破产的先验概率或预测变量的分布不需要作任何假设，基本的估计问题为：给定一家公司属于某个特定的总体，那么在某一特定期间内，公司破产的概率是多大？
假设Xi是第i个公司的预测变量，α和β为待估计参数，公司i破产的概率可以由下式给出：
P(Xi,?)?F(???Xi) （1.3） 在Logistic模型中，F(???Xi)?11?e?(???Xi) （1.4）
或者ln[P]????Xi （1.5） (1?P)(1)(2)假设第1组样本为X1(1),......,Xm，第2组样本为X1(2),......,Xn，则似然函数为：
mL(?,?)??[1?i?11]?[] （1.6） (????Xi(1))?(????Xi(2))1?expi?11?exp1n最大化对数似然函数lnL(?,?)就可以估计出式（1.5）中的参数?,?，从而算出公司破产的概率P(Xi,?)，基于这一概率公司可以被划分为财务困境公司与财务健康公司。
Martin（1977）首次运用Logistic模型来进行银行破产预测。这一方法后来被Ohlson（1980）用于预测企业的财务困境。
在Probit模型中，采用的概率函数则是累积标准正态分布函数：
P(Xi,?)?F(???Xi)??
???Xi1(2?)12??edt （1.7）
?t22虽然Probit模型与Logistic模型相似，但应用并不象后者那么广泛。关于Probit模型研究的
文献很少，这可能是因为该模型包括了非线性估计，所以计算量较Logistic模型大。
五、递归分割算法
递归分割算法RPA是一种基于模式识别的非参数的计算机分类技术，它同时具有传统单变量分类法和多变量分析法的特点。由RPA得到的模型呈现出分类二叉树的形式，该二叉树能够把对象分到特定的组中。
RPA的输入包括一个由N个对象的观测数据组成的原样本，还有它们实际的类别以及先验概率和误判成本。我们用?i表示某对象属于组i的先验概率，用cij表示将属于组i的对象被误判为组j的成本。如图1所示，我们给出了一个实际的树，该树是RPA基于一定的先验概率和误判成本，从200家破产公司（组1）和非破产公司（组2）中构建出的。该树共有5个最终节点（terminal node），如图1中的圆圈所示。这些圆圈代表所有公司最后的分类。模型根据各个公司的财务特征将其逐级往下分到各个最终节点。
RPA模型的构建分两步，第一步是构建预期误判成本较小的树，第二步是通过交叉检验来选择树合理的复杂度。
RPA模型的缺点是：（1）它是一种前向选择方法，当它引入新的分类规则时并没有考虑前面的分类方法，因而有可能同一个分类指标会重复出现但判别点发生变化；（2）有可能出现过度拟和现象；（3）RPA技术能将公司分割成不同风险类型，但无法将同一风险类型内的公司进行对比。 图1.1 RPA树
200家公司
现金流量/总负债
68家公司 留存收益/总资产 132家公司 总负债/总资产
23家公司 现金/总销售收入
注：树（1）是基于200家公司的财务数据、破产组和非破产组的先验概率(?1,?2)??0.02,0.98?以及误判的成本c12?50,c21?1构建而成。当某个公司的判别变量值大于判别点（cutoff）时朝右边移动。最终节点是圆圈。最左边的最终节点有45家公司，其中40家属于组1，5家属于组2。属于组1（破产）的节点在圆圈内记为B。属于组2的最终节点记为NB。该树误判了5家破产公司和15家非破产公司。
六、生存分析
上述模型均运用企业破产前的数据进行预测，但并不能预测出企业破产的确切时间。Lane et
al.（1986）运用一个比例危害模型对银行破产进行预测，称为生存分析。生存分析假定财务健康和财务困境的公司都来自同样的总体。公司破产的风险是通过计算每家公司的生存时间来衡量的。假设T时间后公司就会破产，那么生存函数S（t）就代表T>t概率，公司在t时间前破产的概率可以用F（t）表示：
F(t)?1?S(t) （1.8）
危险度函数h(t)可以由下式给出：
h(t)?f(t)?S'(t)? （1.9） S(t)S(t)并且，h(tx)?h0exp(x'?) （1.10）
其中，x代表公司一系列财务比率的向量，?代表系数向量，是用最大似然法进行估计的，
h0是令x=0计算得到的。
生存函数S?t|x??S0(t)exp???x?其中，S0(t)?exp(??h0(u)du)0t （1.11）
（1.12）
由于没有限制h0(t)的分布，所以生存分析是一种半参数的方法，这也使之免于很多对参数方法的攻击，而且，用这种方法处理破产预测问题显得更为现实。
生存分析方法可以得出期望破产时间，这给决策者提供了重要的信息。虽然相对传统的统
计方法而言，生存分析方法的确是很好的替代方法，但是到目前为止，它仍然得不到非常广泛的应用。
七、专家系统
人工智能的发展和应用使得研究者开始采用专家系统来解决破产问题。专家系统一般是采
用归纳推理（Inductive inference）方法，该方法是通过分析与所要解决的问题相关的一系列案
