2012年高三理科数学第一轮复习概率与统计（5）正态分布
考纲要求 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 命题规律 常以选择填空题的形式出现。掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率。 考点解读 考点1 正态曲线的性质
要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关． 考点2 服从正态分布的概率计算
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上． 考点突破 考点1 正态曲线的性质
典例1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率．
解题思路 关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关
解题过程 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由11＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是 2πσ2π·4
1
. 42π
1x2
φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
42π32(2)P(－4 易错点拨 解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响． 2 变式1 设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ2)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )． A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 点拨 根据正态分布N(μ，σ)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭 答案 A 考点2 服从正态分布的概率计算 典例1 设X～N(1,22)，试求 2 (1)P(－1 解题思路 将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解． 解题过程 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1 ∴P(3 21 ＝[P(1－4 ＝[P(μ－2σ (3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， 1 ∴P(X≥5)＝[1－P(－3 21 ＝[1－P(1－4 ＝[1－P(μ－2σ 1＝×(1－0.954 4)＝0.022 8. 2 易错点拨 注意正态分布和标准正态分布的区别与联系 变式1 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________. 点拨 由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7. 答案 0.7 综合突破 突破1 正态分布中概率计算错误 典例1 已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( )． A．0.3% C．1.5% B．0.23% D．0.15% 解题思路 对正态分布N(μ，σ2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质． 解题过程 依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分1－99.7% 比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为＝0.15%.故选D 2易错点拨 (1)不能正确得出该正态分布的两个参数μ，σ导致计算无从下手．(2)对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错 1 0，?中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )． 变式1 在正态分布N??9? A．0.097 B．0.046 C．0.03 D．0.002 6 1 点拨 ∵μ＝0，σ＝，∴P(x＜－1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－ 30.997 4＝0.002 6. 答案 D 快乐训练 x－10?21 1、设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个88π正态总体的平均数与标准差分别是( )． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 2、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于( )． A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 3、已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于( )． A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 4、已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于( )． A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 5、设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X A．1 B．2 C．3 D．4 6、某中学200名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N（120，100），则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为 。 （注：正态总体N(?,?2)在区间(??2?,??2?)内取值的概率约为0.954） 7、若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________. 8、设?~N?0,1?，且P??b?a表示）． 提高训练 1、已知随机变量Z服从正态分布N（0，e）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=（ ） A、0.477 B、0.625 C、0.954 D、0.977 2、已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且P(2?X?4)=0.6826，则p（X>4）=（ ） A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585 3、设随机变量?服从正态分布N(2,9),若P(??c?1)?P(??c?1),则c=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11 4、如下图是正态分布N(0,1)的正态曲线，现有：①Φ(m)－，②Φ(－m)，③[Φ(m)－Φ(－ 22 m)]，这三个式子能表示图中阴影部分面积的是 ( ) 2???0?a?1b,?0?，则P???b?的值是 （用aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5、已知随机变量?服从正态分布N(2,?2)，P(??4)?0.84，则P(??0)?（ ） A、0.68 B、0.32 C、0.16 D、0.84 6、随机变量服从正态分布N(1,4)，若 A、 B、 ，则 =（ ） C、 a+ 0.003a D、+· ,则 =_______. 7、设随机变量服从正态分N(0,1), 8、若随机变量?~N(10,?2)，P(9???11)?0.4，则P(??11)? 超越训练 1、2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆． 12、工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N(4,)，问在一次正常的试验中，取1 000 9个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 3、从某城市的南郊某地乘坐公共汽车前往该市的北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,42)． (1)若只有70分钟可用，问应走哪一条路线？ (2)若只有65分钟可用，又应走哪一条路线？ (已知Φ(3.9)＝1.000，Φ(2)＝0.9772，Φ(2.5)＝0.9938，Φ(1.5)＝0.9332，Φ(1.25)＝0.8944) 4、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名. (1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？ (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)＝P(x＜x0) x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9297 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9812 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
