第5章 等价关系与偏序关系
一、选择题（每题3分）
1、设Z为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ ）
A、?Z,??(?：小于关系) B、?Z,??(?：小于等于关系) C、?Z,D?(D：整除关系) D、?Z,M?(M：整倍数关系)
2、序偶??(A),??必为（ B ）
A、非偏序集 B、偏序集 C、线序集 D、良序集 3、设?：小于等于关系Z为整数集，下面哪个序偶能够成良序集（ ） A、?R,??C、?Z,????(R：正实数集) B、?Q?,??(Q?：正有理数集)
(Z?：正整数集) D、?N,??(N：自然数集)
4、设A?{?,{1},{1,3},{1,2,3}}，则A上包含关系“?”的哈斯图为（ ）
5、集合A?{ 1, 2, 3,4 }上的偏序关系图为
则它的哈斯图为（ ）
6、某人有三个儿子，组成集合A?{ S1, S2, S3 }，则在A上的兄弟关系一定不是（ ） A、偏序关系 B、线序关系 C、良序关系 D、等价关系
, Pn}，则在A上的同事关系一定是（ ） 7、有一个人群集合A?{ P1, P2, A、偏序关系 B、线序关系 C、良序关系 D、等价关系
8、设A为非空集合，则下列A上的二元关系中为等价关系的是（ ）
A、空关系 B、全域关系 C、恒等关系 D、上述关系都是 9、设A?{ 1, 2, 3 }，则A上不同等价关系的个数为（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6 10、设A?{ 1, 2, 3, 4 }，则A上不同等价关系的个数为（ ）
A、13 B、14 C、15 D、16 注：除了等价关系可以对空集定义，而划分不能外，等价关系与划分是相同概念的不同描述． 11、设S?{ 1, 2 }，“?”为S中元素的普通乘法，定义S?S上的等价关系
R?{??a,b?,?c,d?? | ?a,b??S?S,?c,d??S?S,a?d?b?c}， 则由R产生的S?S上一个划分的分块数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4 提示：记a1??1,1?,a2??1,2?,a3??2,1?,a4??2,2?，
则由R的关系图易知S?S?{{a1},{a2},{a3},{a4}}．
12、设S?{ 1, 2, 3 }，“?”为S中元素的普通乘法，定义S?S上的等价关系
R?{??a,b?,?c,d? | ?a,b??S?S,?c,d??S?S,a?d?b?c}， 则由R产生的S?S上一个划分的分块数为（ ）
A、3 B、5 C、7 D、9 提示：因a?d?b?c，则a?b?c?d
因a?b??2,?1,0,1,2，则等价关系R产生的S?S上一个划分的分块数为5． 二、填充题（每题4分）
1、设A?{ a, b, c,d }，其上偏序关系R的哈斯图为 则R? ．
2、设A?{ a, b, c,d,e,f,g }，偏序集?A,R?的哈斯图为
bcfdeg，
则R? ．
a?a,b??a??b?
3、偏序集??({a,b}),??的Hass图为
?
4、对于A?{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }，则偏序集?A,整除关系?的哈斯图为
5、设A?{1, 2,3,4,6,81,2,24} 最小元为
，极大元为
，“?”为A上整除关系，则偏序集?A,??极小元为、最大元为
．
，
6、设A?{ 2,3,4,6,8,12 }，“?”为A上整除关系，则偏序集?A,??的极小元为最小元为
，极大元为
，最大元为
，既非极小元也非极大元的是
．
，
7、设A?{a,b,c}考虑下列子集S1?{{a,b},{b,c}}，S2?{{a},{a,b},{a,c}}，
S3?{{a},{b,c}}，S4?{{a,b,c}}，S5?{{a},{b},{c}}，S6?{{a},{a,c}}
则A的覆盖有
，A的划分有
．
．
．
8、设A?{ 1, 2, 3,4 }，S?{{1},{2,3},{4}}为A的一个分划，则由S导出的等价关系为
R?
提示：R?({1}?{1})({2,3}?{2,3})({4}?{4})．
9、非空正整数子集A上的模k等价关系R的秩为k，A/R?三、问答题（每题6分）
1、试比较偏序集合、线序集合与良序集合．
2、设|A|?5，R是A的等价关系，由R诱导的A的划分块数为3，则不同的R有多少种？ 3、设A是实数集合，试判断R?{?x,y?x?A?y?A?x?y?3}是A上的偏序关系吗？等价关系吗？为什么？
四、画图填表题（每题10分）
1、设A?{ a, b, c,d,e}上的关系R? {?c,d?}IA，画出偏序集?A,R?的哈斯图， 列表给出A的子集B1?{ a,b, c,d,e},B2?{ c,d},B3?{c,d,e}的极大元、极小元、最大
元、最小元、上界、下界、上确界和下确界．
2、设A?{ a, b, c}的幂集?(A)上的关系?? {?x,y?x??(A)?y??(A)?x?y}， 画出偏序集??(A),??哈斯图，列表给出?(A)子B1?{ ?,{a},{b}},B2?{{a},{c}}，B3?{{a,c},{a,b,c}}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界． 3、试填出A?{1,2,3,4,5}上的等价关系R，
其产生划分A/R?{{1,2},{3},{4,5}},并画出关系图．
六、证明题（每题10分）
1、设R是A上的二元关系，如果R是传递的和反自反的，称R是A上的拟序关系， 证明：如果R是A上的拟序关系，则r(R)?RIA是A上的偏序关系．
2、设R是A上的二元关系，如果R是传递的和反自反的，称R是A上的拟序关系， 证明：如果R是A上的偏序关系，则R?IA是A上的拟序关系． 3、设R是A上的对称和传递关系，
证明：若?a?A,?b?A,??a,b??R，则R是A上的等价关系．
?14、设R是S上的偏序关系，证明：R是S上的偏序关系． 5、设R是S上的等价关系，证明：R?1是S上的等价关系．
6、设R,S是A上的偏序关系，证明：RS是A上的偏序关系． 7、设R,S是A上的等价关系，证明：RS是A上的等价关系．
8、设R是S上的二元关系，S'?S定义S'上的二元关系R'?R(S'?S'), 证明：如果R是S上的偏序关系，那么R'是S'上的偏序关系．
9、设R是S上的二元关系，S'?S定义S'上的二元关系R'?R(S'?S'), 证明：如果R是S上的等价关系，那么R'是S'上的等价关系． 10、若R是A上的等价关系，则S?{?a,b?|a,b?A??c?A(?a,c??R??c,b??R)}也是A上的一个等价关系．
六、证明计算题（每题10分）
1、设A?{1,2,3}，在A?A上定义R:??a,b?,?c,d???R? a?b?c?d， “?”为普通加法，证明：R是A?A上的等价关系，并求出[?1,3?]R,A?A/R． 2、设A?{1,2,3,4}，在A?A上定义R:??a,b?,?c,d???R? a?d?b?c， “?”为普通加法，证明：R是A?A上的等价关系，并求出[?2,4?]R,A?A/R．． 3、设A?{1,2,3,4}，在A?A上定义R:??a,b?,?c,d???R? ad?bc， “” 为普通乘法，证明： R是A?A上的等价关系，并求出[?2,4?]R,A?A/R．
4、设A?{ 1, 2, 3, 4 }，在A的幂集?(A)上规定R?{?s,t?|s,t??(A)?(|s|?|t|}， 证明：R是?(A)上的等价关系，并写出商集?(A)R．
