解：（1）设AF?y，则x?y?x2?y2?l，
A E B
F D b
a
C
l2?2lx整理，得y?． ………3分
2(l?x)1x(l2?2lx)，x?(0,b?．………4分 S?xy?24(l?x)'?l2x2?4lx?l22l2?2??2?2?（2）S???x?l?x?l????22????,x?(0,b?， 422x?l4x?l?????????当b?bl?2b?l?2?2； l时，S'?0，S在(0,b?递增，故当x?b时，Smax?4?b?l?2当b??2?2??2?2?2?2''0,lx?l,b上，，递增，在上，S?0S?0，S递减，故当l时，在x??S??????2?22????x?2?23?222l时，Smax?l． 2417．（镇江市2013届高三期末）已知a?0，函数f(x)?ax3?bx(x?R)图象上相异两点A,B处的切线分别为l1,l2，且l1∥l2．
（1）判断函数f(x)的奇偶性；并判断A,B是否关于原点对称； （2）若直线l1,l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．
解：（1）?f??x??a??x??b??x???ax3?bx??f?x?， ……2分
3???f?x?为奇函数． ……3分
设A?x1,y1?,B?x2,y2?，且x1?x2，又f??x??3ax2?b， ……5分
?f?x?在两个相异点A,B处的切线分别为l1,l2，且l1∥l2，
22?k1?f??x1??3ax1?b?k2?f??x2??3ax2?b?a?0?，
?x1?x2．又x1?x2，?x1??x2， ……6分
又?f(x)为奇函数，?点A,B关于原点对称． ……7分 （2）由（1）知A?x1,y1?,B??x1,?y1?，?kAB?222y12?ax1?b．……8分 x1又f?x?在A处的切线的斜率k?f??x1??3ax1?b，
?直线l1,l2都与AB垂直，?kAB?k??1,?ax21?b?3ax12?b??1．……9分
???令t?ax1?0，即方程3t2?4bt?b2?1?0有非负实根， ……10分
2b2?14b?0，????0?b?3，又t1t2??0?b?0．综上b?3．……14分
33217．（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB?AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB?交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB?PD的面积最大时制冷效果最好． （1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ 解：（1）由题意，AB?x，BC?2?x．
因x?2?x，故1?x?2． ……………………2分 设DP?y，则PC?x?y．
因△ADP≌△CB?P，故PA?PC?x?y．
由PA2?AD2?DP2，得(x?y)2?(2?x)2?y2?y?2(1?1)，1?x?2．……5分
x（2）记△ADP的面积为S1，则
S1?(1?1)(2?x) ………………………6分
x?3?(x?2)?2?22，
xB?
D P C
A （第17题）
B
当且仅当x?2∈(1，2)时，S1取得最大值． ………………………8分 故当薄板长为2米，宽为（2?2）米时，节能效果最好．…………………9分 （3）记凹多边形ACB?PD的面积为S2，则
S2?1x(2?x)?(1?1)(2?x)?3?1(x2?4)，1?x?2．………………………10分
2x2x314?x?2?0?x?32． ………………………11分 ?于是，S2??(2x?2)?22xx关于x的函数S2在(1,32)上递增，在(32,2)上递减．
所以当x?32时，S2取得最大值． ………………………13分 故当薄板长为32米，宽为（2?32）米时，制冷效果最好．…………………14分
17．（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不低于医疗总费用的50%且不高于医疗总费用；③报销的医疗费用不得超过8万元．
（1）请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案；
（2）若该单位决定采用函数模型y=x?2lnx+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：
ln2?0.69，ln10?2.3)
解：（1）函数y=0.05(x2+4x+8)在[2，10]上是增函数，满足条件①．……………2分 当x=10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③． ……………4分 293x
但当x=3时，y=<，即y?不恒成立，不满足条件②．
2022
故该函数模型不符合该单位报销方案． ……………6分 2x－2
（2）对于函数模型y=x?2lnx+a，设f(x)=x?2lnx+a，则f ′(x)=1?=?0，
xx所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①．
xx由条件②，得x?2lnx+a?，即a?2lnx?在x?[2，10]上恒成立．
22x214－x
令g(x)=2lnx?，则g′(x)=－=，由g′(x)>0得x<4，
2x22x?g(x)在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数．
?a?g(4)=2ln4?2=4ln2?2． ……………10分 由条件③，得f(10)=10?2ln10+a?8，解得a?2ln10?2． ……………12分 另一方面，由x?2lnx+a?x，得a?2lnx在x?[2，10]上恒成立，?a?2ln2． 综上所述，a的取值范围为[4ln2?2，2ln2]．
所以满足条件的整数a的值为1． ……………14分
18．（扬州市2013届高三期末）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道
ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米． （Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；
（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．） 解：（Ⅰ）设助跑道所在的抛物线方程为
y 4 A D C O B 2 E x f(x)?a0x2?b0x?c0，
?c0?4,?依题意?4a0?2b0?c0?0,…………………3分
?9a?3b?c?1,00?0解得a0?1，b0??4，c0?4，
∴助跑道所在的抛物线方程为f(x)?x?4x?4． …………………7分
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