分式方程解题技巧
一、分式方程的重要特征
（1）从分式方程的定义中可以看出分式方程的重要特征：一是方程；二是方程里含分母；三是分母中含有未知数。
（2）整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数。 （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，求得分式方程的解，这是解分式方程的关键。
解分式方程的一般方法和步骤：
注意：（1）用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母同乘方程两边各项时，不要漏乘常数项；
（2）解分式方程可能产生不适合原方程的根，所以检验是解分式方程的必要步骤。 【拓展】
（1）方程变形时，可能产生不适合原方程的根，叫做原方程的增根。
（2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。
三、含有字母的分式方程的解法
在数学式子中的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数.含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个
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字母表示已知数，还要注意题目的限制条件。
例题1 解关于x的方程
ab2??
ax?bbx?ax22解析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。 答案：若a、b全不为0，去分母整理得：(b①当b②当b222 ?a)x??2ab，对b?a是否为0分类讨论：
22?a?0，即a??b时，有0?x??2ab，方程无解； ?a?0，即a??b时，解之，得x?12?，无解； xx22ab， 22a?b若a、b有一个为0，方程为
若a、b全为0，分母为0，方程无意义； 检验：当x?2ab时，公分母(ax?b)(bx?a)?0，所以当ab?0,a??b时，22a?bx?2ab是原方程的解。 22a?b点拨：这种含有字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为0
时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解.当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a、b全为0时，方程不存在.最后对字母条件归纳，得出方程的解。
例题2 如果关于x的方程
a1b1???有唯一解，确定a、b应满足的条件。 xaxb解析：显然方程存在的条件是：a?0且b?0 答案：若a?0且b?0，去分母整理，得(b?a)x当且仅当b?a?0，即b?a时，解得x?ab 经检验，x?ab是原方程的解
?ab(b?a)
?a、b应满足的条件：a?0且b?0，b?a
点拨：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件.因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。
2
例题3 解方程：
12x?1032x?3424x?2316x?19???
4x?38x?98x?74x?5解析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
答案：由原方程得：3?即：
1221 ?4??3??4?4x?38x?98x?74x?52222 ???8x?98x?68x?108x?71?1，
?8x?10??8x?7?于是
?8x?9??8x?6?所以?8x?9??8x?6???8x?10??8x?7?
解得：x=1
经检验：x=1是原方程的根。
分式方程增根的妙用
解分式方程可能会产生增根，因此验根是解分式方程必不可少的步骤，不可否认，增根的出现给我们解题带来了麻烦，然而巧妙利用增根也可使之“变废为宝”，帮助我们寻找解题途径。
例题 （牡丹江中考）若关于x的分式方程
x?a3??1无解，则a? 。 x?1x解析：本题中的分式方程去分母后转化为整式方程(a?2)x?3，除了考虑这个整式方程的解恰好是原分式方程的增根外，还要考虑它本身无解的情况。
答案：方程两边都乘以x(x?1)，得(x?a)x?3(x?1)?x(x?1)，整理得(a?2)x?3。若原方程无解，则有两种情形：
（1）当a??2时，a?2?0，方程(a?2)x?3为0x?3，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程(a?2)x?3的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解。原方程若有增根，增根为x?0或x?1，把x?0代入(a?2)x?3，a值不存在；把x?1代入(a?2)x?3，解得a?1。
综上所述，当a?1或a??2时，原方程无解。
（答题时间：30分钟）
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一、选择题
1. 下列方程中不是分式方程的是（ ） A.
1xx11?0 B. ?2 C. ??x D. ?x?1 xx?123x?331的解为（ ） ?2xx?1C. x=3
D. x=4
2. 分式方程
A. x=1 B. x=2 3. 若解分式方程
2xm?1x?1产生增根，则m的值是（ ） ??x?1x?xxC. 1或2
D. 1或-2
A. -1或-2 B. -1或2
*4. （保定中考）对于非零的两个实数a、b规定a?b?值为（ ）
A.
二、填空题
5. 若分式方程：2?*6. 关于x的方程
三、解答题 7. 解分式方程：**8. 设A?11?，若2?(2x?1)?1，则x的ba5 6B.
5 4 C.
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D.-1 61?kx1有增根，则k= 。 ?x?22?xm3???1无解，则m=______。 x?12x?2314 ??2x?2xx?2xx3，B?2?1，当x为何值时，A与B的值相等。 x?1x?1x?12m?3的解等于0。 ?x?2m?5**9. 当m为何值时，关于x的方程
10. （1）当a为何值时，方程
x?2a?2?有増根？ x?33?x（2）当a为何值时，方程
3a?1?a无解？ x?1 4
