（X，Y）解：（1）的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。
p11?P{X?1，Y?1}? p21111122??， p12?P{X?1，Y?2}??? 339339212224?P{X?2，Y?1}???， p22?P{X?2，Y?2}???
339339于是（X，Y）的概率分布表为
Y X 1 2 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9 （2）关于X和Y的边缘概率分布分别为
X 1 2 Y 1 2 pi? 1/3 2/3 p?j 1/3 2/3 （3）X和Y相互独立。因为?i,j有pi??p?j?pij 15、设X1，X2，X3为来自总体X~N(?,?2) 的一个样本，且EX??存在，验证统计量
(1)、(2)都是?的无偏估计，并指出哪一个较好。
?1? （1）?131111?2?X1?X2?X3。 X1?X2?X3； （2）?5102362?1?E(X1? 解：（1）由于E??1?所以?1531X2?X3)?? 102131X1?X2?X3是?的无偏估计； 5102?2?E(X1? （2） E??2?所以?1311X2?X3)?? 62111X1?X2?X3是?的无偏估计。 362153119X2?X3)??2 10250117X2?X3)??2 6218?1?D(X1?而 D??2?D(X1? D?显然
1319272131?1?X1?X2?X3较好。 ???，故?50185102 16、设随机变量（X，Y）具有概率密度
?Ce?(x?y),x?0,y?0 f(x,y)??，
其它?0,求（1）常数C；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于 1=
??????????f(x，y)dxdy?1，故
????00??0????0Ce?(x?y)dxdy?C?e?xdx?e?ydy?C
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所以C=1，即
?e?(x?y)，x?0,y?0 f(x,y)??
其他?0，（2）fX(x)??f(x,y)dy????0????e?(x?y)dy?e?x x?0，即
??e?x,x?0 fX(x)??
??0，其他fY(y)????f(x,y)dx??0????e?(x?y)dx?e?y y?0，即
??e?y,y?0 fY(y)??
??0，其他17、设X?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，其中X1，X2，X3，X4是来自总体N(0，22)的简单随机样本。试问当a、b各为何值时，统计量X服从?2分布，并指出其自由度。
解：依题意，要使统计量X服从?2分布，则必需使a1/2(X1?2X2)及b1/2(3X3?4X4)服从标准正态分布。 由相互独立的正态随机变量的性质知
a1/2(X1?2X2)~N(0，(4a?16a)) 从而解得a?1/20。 b1/2(3X3?4X4)~N(0,(36b?64b))
从而解得b?1/100。 故a?1/20，b?1/100时，统计量X服从?2分布。且自由度为2。
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