ndlnLn ???lnxi?0
d???1i?1???1?解的?的极大似然估计量为?n?lnXi?1n
i6、已知工厂A、B生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A、B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率 。
解：设C表示“取到的产品是次品”；A“取到的产品是A工厂的”； 。则 B“取到的产品是B工厂的”
（1） 取到的产品是次品的概率为
P(C)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)
?6014027???? 100100100100500（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率为
P(B|C)?P(BC)P(B)P(C|B) ?P(C)P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)402?4 ?100100?
775007、设X、Y的概率分布为
?1?4e?4y，y?0,?，1?x?5, ?(x)??4 ?(y)??
0，y?0,???0，其它,2求：E(X?Y)和E(2X?3Y)。
解：由于X在有限区间[1，5]上服从均匀分布，所以EX?的指数分布，所以EY=
5?1?3；又由于Y服从参数为4211、DY?， 41611?3 44因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 E(X?Y)?EX?EY?3?E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)
?6?3(DY?(EY)2)?6?35?5。 88 8、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中
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任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）关于X和关于Y边缘概率分布。
（X，Y）解：（1）的所有可能取值为(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、
(3，2)。由概率乘法公式得
121?? 436111 p13?P{X?1，Y?3}???
4312，Y?2}? p12?P{X?1同理得p21?p22?p23?p32?1/6,p31?1/12。此外{X?1，Y?1}，{X?3，Y?3}，都是不可能事件，所以p11?p33?0,于是（X，Y）的概率分布表为 Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 （2）X的边缘概率分布为
X 1 2 3 pi? 1/4 1/2 1/4 Y的联合概率分布为
Y 1 2 3 p?j 1/4 1/2 1/4 9、设总体X的分布列为
X 1 0 pk p 1?p
X1，X2，?，Xn为X的一个样本，求p的极大似然估计。
解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，X的分布律为
p(x,p)?px(1?p)1?x （x?1，0）
于是似然函数 L(p)?nn?p(x,p)??pii?1i?1nni?1i?1nnxi(1?p)1?xi?pi?1(1?p)?xin??xii?1
lnL?lnp?xi?(n??xi)ln(1?p)
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nndlnL?
dp?xii?1p?n??xii?11?p
1ndlnL令?0，解得p??xi?X，因此p的极大似然估计为
ni?1dp1n???xi?X pni?110、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。
解：设Ai表示：“第i个电子元件被损坏”（i=1，2，3），则有P(A1)?0.03；P(A2)?0.04；
P(A3)?0.06。依题意所求概率为
P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A1A2)?P(A1A3)?P(A2A3) ?P(A1A2A3) ?0.03?0.04?0.06?0.03?0.04?0.04?0.06
?0.03?0.06?0.03?0.04?0.06?0.124672
11、设X随机地在1，2，3中任取一值，Y随机地在1~X中任取一整数值,求：（1）(X，Y)的分布律；（2）关于X和Y的边缘分布律。
解：（1）(X，Y)的概率分布表为
Y X 1 2 3 1 21300161603191919
（2）关于X的边缘分布律为
X 1 2 3 P{X?xi}?pi? 111 333 关于Y的边缘分布律为 Y 1 2 3 P{Y?yj}?p?j 1151
91818 12、设X1，X2，?，Xn为X的一个样本，且X的概率分布为
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???axa?1e??x,x?0, f(x,?)??
?x?0,?0,其中?为未知参数，a?0为常数，求?的极大似然估计。
解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，构造似然函数
a? L（?）?f(x,?)???axii?1i?1nnia?1??xiae
?(?a)en???xiai?1n??xia?1
i?1n lnL?nln(?a)??令
解得
?xi?1nai?ln?xia?1
i?1ndlnL?0 d?n???xia?0，因此?的极大似然估计为
i?1n???n?Xi?1n。
ai13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
解：设X表示每个人等车时间，且X服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为
f(x)??
P{X?1/5,0?x?5其它?0,22?2}????f(x)dx??01/5dx?0.4
又设Y表示等车时间不超2分钟的人数，则Y P{Y?2}?1?P{Y?1}
~B(3,0.4)，所求概率为
01?1?C3?0.63?C3?0.4?0.62?0.352
14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X和Y的联合概率分布；
（2）关于X和Y边缘分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？
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