15、设X1，X2，X3为来自总体X~N(?,?2) 的一个样本，且EX??存在，验证统计量
（1）、（2）都是?的无偏估计，并指出哪一个更好。
（1）
131X1?X2?X3； 5102111X1?X2?X3。 362（2）
16、设随机变量（X，Y）具有概率密度
?Ce?(x?y),x?0,y?0 f(x,y)??，
0,其它?求（1）常数C ；
（2）关于X和关于Y的边缘分布密度。
17、设X?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，其中X1，X2，X3，X4是来自总体N(0，22)的简单随机样本。试问当a、b各为何值时，统计量X服从?2分布，并指出其自由度。
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《概率论与数理统计》答案
一、填空题
1． 1/5 17/45 2． 1/2
3． 0 5 4． 0.4 1.84 5． 52 6． 13/24
7． 1/3 8． 3 -11
9． 7/13 10． 311 9 23 二、选择题 1．C
2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．A 三、解答题
1、设X的分布函数为
?0，x?0?1/3，0?x?1? F（x） ?P{X?x}??1/2，1?x?2??，x?2?1求：（1）X的概率分布；（2）P{X?133}、P{1?X?}、P{1?X?}； 222 第 6 页 共14页
解：（1）X的概率分布列为
X 0 1 2 P 1/3 1/6 1/2 （2）P{X?}?F（1211）? 23 P{1?X?}?P{X?}?P{X?1}? P{1?X?}?P{1?X?}?P{X?32321 6323231}? 262、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件A表示：“取到的产品是次品”；事件Ai表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”
（i?1，2，3）。则A1?A2?A3??，且P(Ai)?0，A1、A2、A3两两互不相容。
（1） 由全概率公式得
3P(A)??P(Ai)?P(A|Ai)
i?1121214???????0.025 210041004100 （2）由贝叶斯公式得
12?P(A1)P(A|A1) P(A1|A)=3 ?2100?0.4
0.025?P(Aj)P(A|Aj)j?13、设随机向量(X,Y)的概率密度为
?C,0?x?1,0?y?2xf(x,y)??
?0,其他求：（1）常数C；
（2）关于X、Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立。
解：（1）利用归一性知：（2）fX?x????f(x,y)dxdy?1?C?1
????????f?x,y?dy，
??当0?x?1时，有fX?x??其他情况时，fX?x??0
f?x,y?dy??dy?2x；
02x 第 7 页 共14页
综合知fX?x????2x,0?x?1，
?0,其他?y?1?,0?y?2同理fY?y???2
??0,其他由于
f(x,y)?fX?x??fY?y?知X与Y不相互独立。
4、已知r?vX、Y分别服从正态分布N(0,32)和N(2,42)，且X与Y的相关系数
?XY??1/2，设Z?X/3?Y/2，求：
（1）数学期望EZ，方差DZ；（2）X与Z的相关系数?XZ。
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 EZ?E(XYXY11?)?E()?E()??0??2?1 323232 DZ?D( ? ?XYXYXY?)?D()?D()?2Cov(，) 323232132DX?111DY?2???XYDXDY 23221132?32?1112?4?2???(?)?3?4?1?4?2?3 232221111X?Y)?Cov(X,X)?Cov(X,Y) 3232 （2）Cov(X，Z)?Cov(X， ?11DX??XYDXDY?0 32从而有X与Z的相关系数?XZ?Cov(X,Z)?0
DXDZ5、设X1，X2，?，Xn为X的一个样本，
???(??1)x,0?x?1 X~f(x,?)??
?其它?0,其中???1为未知参数，求?的极大似然法估计量。
解：设x1，x2，?，xn为X1，X2，?，Xn观测值，则构造似然函数 L(?)?(??1)(?xi)
i?1nn? lnL?nln(??1)???lnxi
i?1n令
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