《概率论与数理统计》综合复习资料
一、填空题
1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为 ；
取到的两只球至少有一个黑球的概率为 。 2、X的概率密度为f(x)?1?e?x2?2x?1 (???x???)，则DX? 。
3、已知随机变量X~N(?1，1)，Y~N(3，1)且X与Y相互独立，设随机变量
Z?2X?Y?5，则EX? ；
DX? 。
4、已知随机变量X的分布列为
X -1 0 2 Pk 0.4 0.2 p 则： EX= ；
DX= 。
5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22)，则D(3X?2Y)= 。 6、设对于事件A、B、C有P(A)?P(B)?P(C)?11，P(ABC)?，4121P(AB)?P(BC)?P(AC)?，则A、B、C都不发生的概率为 。
8 7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为 。 8、相互独立，且概率分布分别为 f(x)?1?e?(x?1)2 (???x???) ； ?(y)???1/2，1?y?3
0，其它?则：E(X?Y)= ； E(2X?3Y2)= 。
9、已知工厂A、B生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、B工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B工厂的概率为 。 10、设X、Y的概率分布分别为
?4e?4y，y?0?1/4，1?x?5 ?(x)??； ?(y)??
0，y?00，其它?? 第 1 页 共14页
则：E(X?2Y)= ；E(X2?4Y)= 。
二、选择题
1、设X和Y相互独立，且分别服从N(1,22)和N(1,1)，则 。
A．P{X?Y?1}?1/2 B．P{X?Y?0}?1/2 C．P{X?Y?0}?1/2 D．P{X?Y?1}?1/2
2、已知P(A)?0.4，P(B)?0.6，P(B|A)?0.5，则P(A?B)? 。
A． 1 B． 0.7
C． 0.8 D． 0.5
3、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为 。
122313A． ()3()7 B． C10()?()7
333321317C． C10()?()3 D． ()3
3334、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 。
(A) 0.6 (B) 5/11 (C) 0.75 (D) 6/11
5、设事件A、B、C满足AB?C，则下列结论正确的是 。 (A)P(C)?P(A)?P(B)?1 (B)P(C)?P(A)?P(B)?1 (C)P(C)?P(AB) (D)P(C)?P(A?B)
6、设DX?4，DY?1，?xy?0.6，则D(3X?2Y)= 。 (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6
7、设X1，X2，?，Xn为来自总体X的一个样本，X为样本均值，EX未知，则总体方差DX的无偏估计量为 。
1n1n2 (A)?(Xi?X) (B)?(Xi?X)2
n?1i?1ni?11n1n2 (C)?(Xi?EX) (D)?(Xi?EX)2
n?1i?1ni?1 第 2 页 共14页
8、设每次试验成功的概率为2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为 。 (A) (2/3)3 (B) 1?(2/3)3 (C)(1/3)3 (D)1?(1/3)3 9、设X是随机变量，EX??,，对任意常数C，则必有 。 DX??2(?,??0常数）
(A)E(X?C)2?E(X??)2 (B)E(X?C)2?E(X??)2 (C)E(X?C)2?E(X??)2 (D)E(X?C)2?EX2?C 三、解答题
?0，x?0?1/3，0?x?1?1、设X的分布函数为F(x)??，求：
1/2，1?x?2???1，x?2（1）X的概率分布； （2）P{X?133}、P{1?X?}、P{1?X?}。 2222、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：
（1）取到的是次品的概率；
（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 3、设随机向量(X,Y)的概率密度为
?C,0?x?1,0?y?2xf(x,y)??
?0,其他求：（1）常数C；
（2）关于X、Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立。
4、已知r?vX、Y分别服从正态分布N(0,23)和N(2,4)，且X与Y的相关系数
2?XY??1/2，设Z?X/3?Y/2，求：
（1）数学期望EZ，方差DZ； （2）X与Z的相关系数?XZ。
5、设X1,X2,?,Xn为X的一个样本，
?(??1)x?,0?x?1? X~f(x,?)?? ?其它?0,其中???1为未知参数，求?的极大似然法估计量。
第 3 页 共14页
6、已知工厂A、B生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A、B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：
（1）该产品是次品的概率；
（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率 。 7、设X、Y的概率分布为
?1?4e?4y，y?0,?，1?x?5, ?(x)??4 ?(y)??
0，y?0,???0，其它,2求：E(X?Y)和E(2X?3Y)。
8、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）关于X和关于Y边缘概率分布。
9、设总体X的分布列为
X 1 0
pk p 1?p
X1，X2，?，Xn为X的一个样本，求p的极大似然估计。
10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。
11、设X随机地在1，2，3中任取一值，Y随机地在1~X中任取一整数值,求： （1）(X，Y)的分布律； （2）关于X和Y的边缘分布律。
12、设X1，X2，?，Xn为X的一个样本，且X的概率分布为
a???axa?1e??x,x?0 f(x,?)??
?x?0?0,其中?为未知参数，a?0为常数，求?的极大似然估计。
13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X和Y的联合概率分布； （2）关于X和Y边缘分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？
第 4 页 共14页
