适用必修5第3~7期的数学趣苑栏目
完全数
湖北省潜江市江汉油田高级中学 舒云水 433123 如果一个自然数等于除它自身之外的各个正因数之和，则这个数叫完全数﹒例如：6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，6和28都是完全数﹒完全数是被古人视为瑞祥的数，古希腊人在公元2世纪末已发现了四个完全数：6，28，496，8128﹒最小的完全数是6，意大利人把6看成是属于爱神维纳斯的数，以象征美满的婚姻﹒
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找﹒它很久以来一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字﹒从第四个完全数8128到第五个完全数33550336的发现经过了一千多年，真可谓“千年等一回” ﹒第五个完全数在十五世纪由一位无名氏给出﹒完全数的寻找之路是非常艰难的，在手工计算的时代，人们历尽艰辛，仅找到了12个完全数﹒从1952年以后，人们借助计算机与互联网又发现了35个完全数，到现在为止一共发现了47个完全数﹒这47个完全数都是偶数，其中最大的是243112608(243112609?1)﹒是否存在奇完全数？这是一个没有解决的问题﹒借助计算机可以证明：1）若n为奇完全数，则n?10300；2）若n为奇完全数，则n必有一个大于100110的素因数；3）若n为奇完全数，则n的互异的素因数的个数至少是8﹒
完全数有许多有趣的性质： 1.它们都能写成连续自然数之和
例如：6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+?+30+31﹒ 2.每个都是调和数
它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数﹒
例如：????2，????3.可以表示成连续奇立方数之和
除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和﹒ 例如：28?13?33，496?13?33?53?73，8128?13?33?53??153﹒ 4.都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和
例如：6?21?22，28?22?23?24，8128?26?27?28?29?210?211?212，
33550336?212?213???224﹒
11121136111214111??2﹒ 71428 5.完全数都是以6或8结尾
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾﹒
6.位数字相加直到变成个位数则一定是1
除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1﹒（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1）
28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
