题组22：几何证明选讲 【期中试题回顾】 真题训练1【14-15郑州47中期中】如图，2求证：AB?BC?BD. 和都经过A,B两点，AC是的切线，交于点C，AD是的切线，交于点D， 答案 略 点拨辨析 因为AC是的切线，是的切线，根据弦切角等于同弧所对的圆周角，则有 ?BAD??C，?BAC??D BCAB?所以?ACB∽?DAB，故 ABBD2所以AB?BC?BD
真题训练2【14-15河南省实验中学期中】如图，
四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （1）证明：∠D=∠E；
（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
答案
（1）略；（2）略
点拨辨析
（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；
（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上， ∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形 【思路点拨】根据圆内接四边形角关系求出，证明三角相等证明等边三角形。
真题训练3【13-14郑州一中期中】如右图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B,C，?APC的平分线分别交AB,AC于点D,E. (Ⅰ)证明：?ADE??AED； PC(Ⅱ)若AC?AP，求的值. PA 答案 （1）略；（2）3 点拨辨析 （1）∵PA是切线，AB是弦，∴?APD??CPE， ∴?BAP??APD??C??CPE. ∵?ADE??BAP??APD，?AED??C??CPE，∴?ADE??AED. （2）由（1）知?BAP??C，又∵△APC∽△BPA，∴PCCA. ?PAAB∵AC?AP，∴?APC??C，∴?APC??C??BAP. 由三角形内角和定理可知，?APC??C??CAP?180?. ∵BC是圆O的直径，∴?BAC?90?，∴?APC??C??BAP?180??90??90?， ∴?APC??C??BAP?30?. 在Rt△ABC中，
1CA1CACAPCCA，即，∴???3，∴??3. tanCABtan30?ABABPAAB
真题训练4【14新课标1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且
CB=CE
.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明： △ADE为等边三角形.
答案
1、略 2、略
点拨辨析
(Ⅰ)由题设知，A,B,C,D四点共圆，所以∠D=∠CBE，由已知得∠CBE=∠E, 故∠D=∠E
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知,MN?BC
又O在直线MN上，又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM?AD,即
MN?AD，因此AD∥BC,故∠CBE=∠A,又∠CBE=∠E,又∠E=∠A,
由(Ⅰ)知，∠D=∠E ，所以△ADE为等边三角形.
