又a＝b＋c，所以b＝12.故椭圆C的方程为＋＝1.
1612(2)假设存在符合题意的直线l， 3
设其方程为y＝x＋t.
23
y＝x＋t，??2由?xy??16＋12＝1，
2
2
2222
x2y2
得3x＋3tx＋t－12＝0.
22
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)－4×3(t－12)＝144－3t≥0， 解得－43≤t≤43.
另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得
|t|
＝4，从而t＝±213.由于±2139＋14
2
2
2
?[－43，43 ]，
所以符合题意的直线l不存在．
x2y2
6．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点
ab2??
?1，?.
2??
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满―→―→―→?26?足OA＋OB＝tOP，其中t∈?，2?，求|AB|的取值范围．
?3?
a＝b＋1，??
解：(1)依题意得?11
2＋2＝1，??a2b∴椭圆C的方程为＋y＝1. 2
22
??a＝2，解得?2
?b＝1，?
2
x2
2
y＝kx－2，??2
(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)．由?x2
＋y＝1??2
得(1＋2k)x－8kx＋8k－2＝0，
122
∴Δ＝8(1－2k)＞0，解得k＜.
2
2
2
2
2
8k8k－24k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，xx＝，y＋y＝k(x＋x－4)＝－121212222.
1＋2k1＋2k1＋2k―→―→―→?由OA＋OB＝tOP，得P?
2
22
?t2
8k，2
1＋2kt2
－4k?，
2?1＋2k?
16k代入椭圆C的方程得t＝2.
1＋2k由
26121
＜t＜2，得＜k＜， 342
2
2
22·1－2k∴|AB|＝1＋k· 2
1＋2k＝2令u＝
22
1＋2k2
＋1
2－1. 1＋2k1?1，2?，
，则u∈?23?2
1＋2k??
?25?2∴|AB|＝22u＋u－1∈?0，?.
3???25?
∴|AB|的取值范围为?0，?.
3??
