求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.
一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o
例1 在数列{a1n}中，a1?3,an?1?an?n(n?1)，求
通项公式an.
解：原递推式可化为：a1n?1?an?n?1n?1则a11112?a1?1?2, a3?a2?2?3
a?a?1113?4，……，aa143n?n?1?n?1?n逐项相加
得：aa11n?1?1?n.故an?4?n.
二、作商求和法
例2 设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n?1)a22n?1?nan?an?1an?0（n=1,2,3…），则它的通项公式是an=▁▁▁（2000年高考15题）
解：原递推式可化为：
[(n?1)an?1?nan](an?1?an)=0 ∵ an?1?an＞0，
an?1na?n?1 n 则
a2?1,a3?2,a4?3,……，ann?1a? 12a23a34an?1n逐项相乘得：
ana?1，即a1n=.
1nn
三、换元法
例3 已知数列{a4n}，其中a1?3,a132?9，且当n≥3时，an?a1n?1?3(an?1?an?2)，求通项公式an（1986年高考文科第八题改编）.
解：设bn?1?an?an?1，原递推式可化为： bn?1?13bn?2,{bn}是一个等比数
列
，
b131?a2?a1?9?43?19，公比为13.故b1?211n?2?(1)n.故a1nn?1?b1?(3)n?9(3)3n?an?1?(3).由
逐差法可得：a311nn?2?2(3).
例4已知数列{an}，其中a1?1,a2?2，且当n≥3时，
an?2an?1?an?2?1，求通项公式an。解 由
an?2an?1?an?2?1得：(an?an?1)?(an?1?an?2)?1，令bn?1?an?an?1，则上式为bn?1?bn?2?1，因此{bn}是一个
等差数列，b1?a2?a1?1，公差为1.故bn?n.。
由
于
b1?b2???bn?1?a2?a1?a3?a2???an?an?1?an?1又b1?b2???bn?1?n(n?1)2 所以a1n?1?2n(n?1)，即a1n?2(n2?n?2)
四、积差相消法
例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列a0，
a1，an…，an，…满足anan?2?an?1an?2=2an?1
(n?2)且a0?a1?1，求{an}的通项公式.
解 将递推式两边同除以
an?1an?2整理得：
ana?2an?1a?1 n?1n?2设bna1n=
aa，则b1?a=1，bn?2bn?1?1，故有 n?10b2?2b1?1 ⑴b3?2b2?1 ⑵
… … … …
bn?2bn?1?1 (n?1)
由⑴?2n?2+ ⑵?2n?3 +…+(n?1)20得
b?1n?1?2?22???2n=
2n?1，即
ana=2n?1. n?1逐项相乘得：a222n=(2?1)?(2?1)???(2n?1)2，考
虑到a0?1，
故
a?1n???(2?1)2(22?1)2???(2n?1)2 (n?0)(n?1) .
五、取倒数法
例6 已知数列{an}中，其中a1?1,，且当n≥2时，
an?1n?a2a，求通项公式an。
n?1?1解 将aan?1n?2a?1两边取倒数得：1?1这n?1a?2，
nan?1说明{1a}是一个等差数列，首项是1?1，公差为2，所以na11a?1?(n?1)?2?2n?1，即a1n?. n2n?1
六、取对数法
例7 若数列{a2n}中，a1=3且an?1?an（n是正整数），则它的通项公式是an=▁▁▁（2002年上海高考题）.
解 由题意知a2n＞0，将an?1?an两边取对数得
lga?2lgalgan?1n?1n，即
lga?2，所以数列{lgan}是以nlga1=lg3为首项，公比为2的等比数列，
lgan?12n?1n?lga1?2n?1?lg32 ，即an?3.
七、平方（开方）法
例8 若数列{an}中，a1=2且an?3?a2n?1（n?2）
，求它的通项公式是an.
解 将an?3?a222n?1两边平方整理得an?an?1?3。
数列{a22n}是以a1=4为首项，3为公差的等差数列。a22n?a1?(n?1)?3?3n?1。因为an＞0，所以
an?3n?1。
八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变
成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：
1、an?1?Aan?B（A、B为常数）型，可化为an?1??=A（an??）的形式.
例9 若数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项之和，且SSnn?1?3?4S（n?1），求数列{an}的通项公式是an.
n解 递推式SSnn?1?3?4S可变形为1?1nS3??4
n?1Sn（1） 设
（
1
）
式
可化为
1S???3(1n?1S??) n（2）
比较（1）式与（2）式的系数可得??2，则有
1S?2?3(1S?2)。故数列{1?2}是以1?2?3为首
n?1nSnS1项，3为公比的等比数列。
1S?2=3?3n?1?3n。所以nS1n?3n?1。 当
n
?2，
a11?2?3nn?Sn?Sn?1?3n?2?3n?1?2?32n?8?3n?12。 ?数列{a项公式是a?1n???2?3nn}的通 ??32n?8?3n?12(n?1)(n?2) 。
2、ann?1?Aan?B?C（A、B、C为常数，下同）型，可化为an?1???Cn?1=A(an???Cn）的形式.
例10 在数列{an}中，a1??1,an?1?2an?1n?4?3,求
通项公式an。
解：原递推式可化为：
an?1???3n?2(an???3n?1) ①
比较系数得
?=-4，①式即是：
an?1?4?3n?2(a?1n?4?3n).
则数列{an?4?3n?1}是一个等比数列，其首项
a1?4?31?1??5，公比是2.
∴an?4?3n?1??5?2n?1 即an?4?3n?1?5?2n?1. 3
、
an?2?A?an?1?B?an型
，
可
化
为
an?2??an?1?(A??)?(an?1??an)的形式。
例11 在数列{an}中，a1??1,a2?2，当n?N，
an?2?5an?1?6an ① 求通项公式an.
解：①式可化为：
an?2??an?1?(5??)(an?1??an)
比较系数得?=-3或?=-2，不妨取?=-2.①式可化为：
an?2?2an?1?3(an?1?2an)
则{an?1?2an}是一个等比数列，首项a2?2a1=2-2（-1）=4，公比为3.
∴an?1?2an?4?3n?1.利用上题结果有：
an?4?3n?1?5?2n?1.
4
、
an?1?Aan?Bn?C型，可化为
an?1??1n??2?A[an??1(n?1)??2]的形式。
例12 在数列{a3n}中，a1?2，2an?an?1=6n?3
①
求通项公式an.
解 ①式可化为：
2(an??1n??2)?an?1??1(n?1)??2
② 比较系数可得：
?1=
-6，?2?9，② 式为2bn?bn?1 {b9n} 是一个等比数列，首项b1?a1?6n?9?2，公
比为12.
∴b?91n?1n2(2)
即 a?9?9?(1nn?6n2)
故a?(1nn?92)?6n?9.
九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出a1,a2,a3,……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式
an，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。
例13 在各项均为正数的数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，Sn=
12(a+ 1na)，求其通项公式。 n
求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的数列 形如a1?m1,a2?m,2n?a?2pn?a?1nq(a,是常数）pq的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2?px?…①q
若①有二异根?,?，则可令ann?c1??cn2?(c,1c2是待定常数）
若①有二重根???，则可令
a?(c1?n2c)?nn(1c,是待定常数）2c 再利用a1?m1,a2?m2,可求得c1,c2，进而求得an． 例
1
．
已知数
列
{an}满足
a1?2,?a2n??3a,?2?na?3*1n，求数列a2n{(an}的通N)项an．
解：其特征方程为x2?3x?2，解得x1?1,x2?2，令
ann?c1?1?c2?2n，
?a?由?1?c1?2c2?2?c1?1?a，得
?， 2?c1?4c2?3??c12?2?an?1?2n?1． 例
2
．
已
知
数列
{an}满足
a1?1,?a2n?2?a,2??4na?*1n4，求数列a{nan(}的通N项an．
解：其特征方程为4x2?4x?1，解得x1?x2?12，令nac?1?n??1?nc2???2??，
)
由
1?a?(c?c)??112??12??a?(c?2c)?1?2212??4，得
?c1??4??c2?6，
an?11?1?3n?(?1)n?????，?an?n等比数列，?． nan?13?3?3?(?1)n?13n?2?an?n?1．
2
例4．已知数列{an}满足a1?2,an?1?求数列{an}的通项an．
2an?1(n?N*)，4an?6二、形如an?2Aan?B的数列 ?Can?D2x?1，即4x2?4x?1?0，解得4x?6111x1?x2??，令??c
11解：其特征方程为x? 对于数列aAan?Bn?2?Ca，an?*1?m,N(A,B,C,是Dn?D 常数且C?0,AD?BC?0） 其特征方程为x?Ax?BCx?D，变形为
Cx2?(D?A)x?B?0…② 若②有二异根?,?，则可令
an?1???c?an??a??a（其n?1n??中c是待定常数），代入a1,a2的值可求得c值．
这样数列??an???a???an???是首项为1，公比为?ac的等1??比数列，于是这样可求得an． 若②有二重根???，则可令
1a??1a?cn?1?n??（其中c是待定常数），代入a1,a2的值可求得c值．
这样数列??1?1，公差为?a?是首项为
c的n???an??等差数列，于是这样可求得an． 此方法又称不动点法．
例3．已知数列{aan?1?2n}满足a1?2,an?2a(n?2)，求
n?1?1数列{an}的通项an． 解：其特征方程为x?x?22x?1，化简得2x2?2?0，解得xan?1?1a?11?1,x2??1，令a?c?n n?1?1an?1 由a41?2,得a2?5，可得c??13， ?数列??an?1?1?a?是以a1?1?1为首项，以?n?1?a1?133为公比的
2an?1?2an?2由a31?2,得a2?14，求得c?1，
?数列??1??是以1?2为首项，以1为公差??a1?15n?2??a1?2?1?2?(n?1)?1?n3a15?5，
n?2a13?5nn?10n?6．
?的等差数列，?
