此类问题在引入导数的概念以后更加容易解决.
例10某企业6月份最多生产机床100台,销售x台的销售额函数
R（x）?3000x?20x2,其成本函数为C（x)=500x+400(元),求该企业生产多少台时获得
的利润最大？
?3000x?20x2, 解：∵R（x）（'x）?3000?40x, ∴R?500x?400, ∵C（x）（'x）?500. ∴C（'x）?C'(x), 令 R即3000-40x=500.
解得x=62(台),即该企业生产62台机床时利润最大.
例11 某种产品的总成本C(单位:万元)是产量x(单位:万件)的函
?100?6dx?0.4x2?0.02x3,求当生产水平为x=10万件时,从降低单位成本的数,C（x）角度看,继续提高产量是否得当？
解：当生产水平x=10万件时,总成本为
C（10）?100?6?10?0.4?102?0.02?103?140（万元）.
这时单位产品的平均成本为 C(10)?∵C'(x)?6?0.8x?0.06x2,
C(10)140??14(元/件) 1010边际成本为C'(10)?6?0.8?10?0.06?102?4(元/件).
此时再加一件成本仅需4元,低于总平均成本(C'(10)?C(10)),加进这件产品时,平均成本得到下降,所以该企业还可继续提高产量.
6.3资源合理利用的优化分析
通过运用导数知识解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把实际问题翻译为数学语言,找出问题的关键,根据题中所给条件把主要关系近似化,形式化,抛开实际意义,抽象出一个数学模型,运用导数相关知识加以解决.具体方法是: (1)用求导法则求出函数导数.(2)令导数等于0,得出驻点及其不可导点.(3)用这些点把区间分成
几个部分,然后讨论函数的单调性.(4)求出极值点及其极值.(5)求出区间端点值与极值进行比较,得到最值.也可以通过讨论目标函数的二阶导数的正负来判断最值.
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例12 某大楼有50间办公室供出租,若定价每间每月租金为120元,则将全部租出.
租出的办公室每月需由房主负担维修费10元,若月租每提高一个5元,将空出一间办公室,试分析每月租定为多少时,比较合理?
解:设每间月租提高x个5元 租金收入为R(x)=(50-x)(120+5x), =-5x2+130x+6000. 维修费为10(50-x)元,
利润f(x)=(50-x)(120+5x)-10(50-x)=-5x2+140x+5500, 由实际情况定出定义域为1≤x≤50,
求f(x)在[1,50]上的最大值.令f″(x)=-10x+140=0,得x=14时f″(x)=-10<0,所以x=14处取极大值.
根据例1判定最值方法知,f(x)在x=14处取最大值,即当月租为120+5×14=190(元/间)时,可获利最大,最大利润为f(14)=6480,此时闲房14间.而R(x)=-5x2+130x+6000,R′(x)=-10x+130,令R′(x)=0,得x=13,R″(x)=-10<0,当x=13时,即月租定为120+5×13=185(元/间)时,收入最大,利润为f(13)=6475.由此看出,最大收入时的利润与最大利润很接近,考虑到价格对人们心理的作用,月租定为每间185元,比较合理,此时获利6475元,闲房13间.
例13 某家银行,准备新设某种定期存款业务,假设存款量与利率成正比,经预测贷款投资的收益率为16%,那么存款利息定为多少时,才能收到最大的贷款纯收益?
解：设存款利率为x,存款总额为M,则由题意M与x成正比,得M=kx(k是正常数)若贷款总额为M,则银行的贷款收益为：0.16M=0.16kx，
而这笔贷款M要付给存户的利息为xM=kx2，
从而银行的投资纯收益为f(x)=贷款收益-付给存户的利息=0.16kx-kx2，
f'(x)=0.16k–2kx=0，
得X=0.08.
又由f''(x)=-2k<0和驻点唯一知,X=0.08是f(x)的最大值点.故当存款利率为8%时,可创最高投资纯收益.
例14 某工厂生产某种商品,其年销售量为100万件,分为N批生产,每批生产需要增加生产准备费1000元,而每件商品的一年库存费为0.05元,如果年销售率是均匀的,且上批售完后立即生产出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半).问N为何值时,才能使生产准备费与库存费两项之和最小？
解：设每年的生产准备费与库存费之和为C,批量为x（即x=100万/N）则
1000000x109xC(x)?1000()?0.05()??.
x2x4011092?1095??0知驻点为最小值点,因由C'(x)?得驻点x0?2?10由C''(x)?40x2x3此,x=20万件时,C最小,此时N?100万=5. 20万以上通过例题,利用导数知识分析了最佳存贷款利息,最佳批数和批量等在现实生活中具有现实意义的问题.此外,产量或需求量最大、征税收益最大等等问题也可通过导数在经济领域的最值问题给予解决.
总之,在经济工作的实施和研究过程中,“最少投入,最大收入”是经济学者研究的主要内容.而“最少”和“最大”正是数学理论中的“最值”问题,这就为导数在经济领域的应用提供了一个广阔的舞台.
7 结论
7.1 主要发现
导数在经济中有着多方面的应用,本文通过归纳总结导数在经济中的各种应用,并对相应的应用给出了具体的方法与例子,对于人们分析复杂的经济问题时提供了一种思路与方法,对于实际生活和生产实践颇有帮助.
7.2 启示
以上就导数在微观经济学中的应用进行了讨论,导数在经济学中的应用颇为广泛,不仅此而已.值得注意的是,我们利用导数的知识解决现实中的问题时,关键是如何将它转化为数学问题,此时,准确理解题意,根据对象的特征与问题的本质,作出必要的、合理
的假设对于问题的解决至关重要.
7.3 局限性
本文主要对导数在经济学中的几种重要作用举例作出说明,其中主要工作属归结概括,还有许多知识须待补充完善,导数在经济中的应用广泛,未能一一举例,只能部分的加以介绍,其余部分还有待进一步探讨归纳.
7.4 努力方向
导数作为经济分析中的常用工具,为企业的生产实践活动作出合理的决策提供依据,从而达到企业利润最大化的目标.应用导数的思想解决经济问题,虽然能给我们的生产实践提供帮助,但是我们也应该清楚的看到,经济问题的复杂性和多变性,要想解决复杂的问题,需长时间的学习积累,方能有所进步.
