就会减少.在经济计划中,如果要从最终产品出发进行综合平衡,就需要确定各部门的最终产品,然后通过投入产出模型求出各部门的总支出.这时可用收入弹性进行指标分解,通常是先估计出下一时期的消费总额各类产品的收入弹性,并把消费总额分解为各类产品的最终需求.
例8 某地区1995年消费总额为180亿元,某产品的消费额为4亿元,其收入弹性为3.1.又1996年该地区预计消费总额为200亿元,则1996年该产品的消费额估计数X是多少?
解:由弹性公式得:
X?44?3.1,
200?180180有：X-4=3.1?0.111?4=1.3764 故得：X=5.3764（亿元） 用同样的方法可估计出其它产品的消费额.
恩格尔定律是需求收入弹性应用的一个范例.其含义是:对于一个家庭来说,收入水平越低,食物支出占消费总支出的比重就越大,反之则相反.对于一个国家来说也是这样
[12]
.因此,如果用恩格尔系数来表示食物支出变化率与总支出变化率的比值,那么,其大
小同收入水平的高低(或家庭的富裕程度)成反比.由于收入等于消费储蓄,故消费总支出可用收入代替.因此,恩格尔系数也可表示为食物支出变化率与收入变化率之比.其实质就是需求的收入弹性,西方统计学家经常以恩格尔系数的高低作为划分低、中、高收入国家的标准.事实上,恩格尔系数不仅可以反映一个家庭(或国家)的收入水平和生活水平,而且更重要的是可反映出在商品价格变化的情况下,价格的同一变动对不同收入水平的家庭(或国家)的影响不是同的.比如,食物价格上涨幅度大于其它消费品价格上涨幅度时,低收入家庭更加不利.目前,恩格尔系数已被广泛应用于消费结构的变化分析.我国的小康标准就有恩格尔系数值的规定.
6 最优分析及案例
最优化问题是经济管理活动的核心,通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题.对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的.将导数作为分析工具,可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角.
经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析、收入最大化分析、利润最大化分析、资源合理利用的优化分析、成本最小化分析以及最优组合分析等,通常伴随一些约束条件.通过优化分析可以帮助企业管理者寻求最大化企业的收益,并尽量降低生产成本和管理费用,意义非常深远.
设函数y?f(x)是可导的,那么导函数f'(x)在经济学中叫做边际函数.
西方经济学家对它的解释是：当x?x0时,若x再增加一个单位的量,y将增加多少,它反映的是经济量的变化率；若是边际成本,则反映生产量处于某一水平时,总成本的变化率等等.在经济学中有边际需求,边际成本,边际收入,边际利润等.
6.1用边际函数求最低成本
（1）总成本、平均成本和边际成本
企业的生产成本通常被看成是企业对所购买的生产要素的货币支出,它可以表示成产品的函数,设为C(q),平均成本是总成本中每生产一单位产品的所消耗的成本
C（q）?C（q）, q边际成本
C（'q）?limC（q??q）?C（q）.
?q?0?q（2）总成本,平均成本和边际成本曲线
由平均成本和边际成本定义可知,任何产量水平上的平均成本C(q)值都可用连接原点到总成本曲线上相应点的线段的斜率给出.任何产量水平的边际成本,可用总成本曲线相应点曲线的切线的斜率给出.由于随着产量的增加,企业投入的成本必定增加,所以总成本曲线是一条向右上方倾斜的曲线.由西方经济学研究知,在达到一定的产量水平之前,总成本的增量是递减的;在达到这个水平之后,总成本的增量是递增的,所以总成本曲线存在拐点,所以平均成本曲线和边际成本曲线都呈U型[13].
（3）边际成本对企业生产的指导作用
任何有理性的企业主总是想扩大生产规模和追求利润的最大化,那么扩大生产规模有无限制条件?利润最大化的前提条件是什么呢?设某企业的销售函数为R (x),利润函数为P(x),则P(x)=R(x)-C(x),由导数的知识知,利润P(x)的最大值一般位于
p'(x)= 0处,此时,R'(x)=C'(x),即边际收益等于边际成本时企业利润最大(萨缪尔森原
则).
例9[14] 生产某种产品q台,总成本C（单位：千元）的函数为：C（q）?200?0.05q2. 求：①当产量为90台时的总成本；
② 当产量为90台时的平均成本；
③ 当产量由90台增加到100台时总成本的平均变化率； ④ 当产量为90台时的边际成本. 解：总成本函数C（q）?200?0.05q2. ①当产量为90台时,总成本为
C（90）?200?0.05?8100?605（千元）.
② 当产量为90台时,平均成本为
C(90)?C(90)605??6.72(千元). 9090③ 当产量由90台增加到100台时总成本平均变化率为
?CC(100)?C(90)700?605???9.5(千元/台). ?q100?9010④ 当产量为90台时,边际成本为
C'(q)?(200?0.05q2)'?0.1q,
'90）?0.1?90?9（千元/台）. 所以C（'90）?9表示当产量为90台时,再多生产1台总成本将增加9千元. 上式中,C（6.2利用边际函数求最大利润
利润最大化是企业决策考虑的根本目标.由微积分基本原理知道:利润最大化的点在边际利润等于零的点获得[15].
在经济研究中,生产某种产品的总成本C(x)、总收入R(x)、与总利润?（x）都是产量x的函数,因而有?（x）=R(x)-C(x),即总利润是总收入中除去总成本的那一部分价值.从数学的角度上来讲,利润就是x的函数,从而将研究经济中的最大化问题转化为求函数的最大值问题.由于发生最大值的点往往是函数的驻点(即:导数为0的点).由此我们来分析上面的问题：
在?（x）= R (x ) - C ( x )两边关于产量 x求导得
d?(x)d[R(x)?C(x)]?, dxdx即：
d?(x)dR(x)dC(x)??. dxdxdx记作?'(x)?MR(x)?MC(x),其中MR(x)与MC(x)分别表示总收入与总成本对产量的导数,在经济学中分别称为边际收入与边际成本.
令?'(x)?0,得 MR(x)=MC(x).
这就是使得利润最大的 x所满足的条件 (在实际问题中最值总是存在, 而且唯一 ),也就是说能够使边际收入等于边际成本的产量值就是利润最大化的产量值 (记作
x0),这也是经济学中的一个重要定理.
此外,要保证利润是极大值,利润对产量的二阶导数必须小于零,即:
d2?d2TRd2TC???0, dQ2dQ2dQ2也就有
d2TRd2TC<. 22dQdQd2TRd2TC其中,是边际收益的变动率,即边际收益曲线的斜率,是边际成本的变动
dQ2dQ2率,即边际成本曲线的斜率.所以,利润最大化的必要条件是边际收益等于边际成本,充分条件是边际收益曲线的斜率小于边际成本曲线的斜率.这一法则适用于所有的厂商,不管是竞争性的还是非竞争性的.
值得注意的是,许多人认为产量越高所得利润就越大,因而他们就极力使自己的产量增加,当然他们所获得的总收入也在增多,但其所得利润不一定增多.通过上面的分析,我们可以看出来,在达到某一点x0之前,企业增加产量导致利润增加；过了这一点,利润会减少.
以上只是关于导数在经济最优化问题方面中应用的一小部分,类似最优化的问题在现实生活中随处可见,例如税收的最大化问题、最佳存款利息、最佳批数和批量等等,而
