配方法的妙用
1、配方的定义：配方是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式的恒等变形，是一种很重要、很基本的数学方法；如将(a+b)2=a2+2ab+b2灵活运用，可得到多种基本配方形式：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+a2+b2+c2+ab+bc+ac=
b232
)+(b)；③221?a?b?2??b?c?2??c?a?2 2??2、配方的方法技巧：配方虽然有明确的目标出现平方式，但配方的过程却是灵活多变的。有时需要在代数式中拆项、添项、分组才能写出完全平方式，配成几项式的平方等都体现了一定的技巧。如：常用的有以下三种形式：①由a2+b2配上2ab；②由2ab配上a2+b2；③由a2+2ab配上b2 。同一个式子可以有不同的配方方法和配方结果，可以用来解决不同的问题或为同一问题提供不同的解法， 3、配方在数学中有着广泛的应用： 一、 因式分解的应用：【通过配方后使用公式a2-b2=（a+b）(a-b)。】 例：分解因式（m2-1）(n2-1)+4mn
解：原式=（m2n2+2mn+1）- (n2-2nm+m2)=(mn+1)2- (n-m)2=(mn+1+n-m) (mn+1-n+m) 二、化简求值：【利用配方是一种出现平方式的恒等变形，具有在实数范围内产生非负数的特殊功能】
1、化简二次根式： 例：化简7-210
解：原式=5-2?5?2?2=
?5-2?2=5-2
2、求代数式的值的应用：
例：已知x2+y2+4x-6y+13=0,x、y均为实数，求xy的值。 解：∵x2+y2+4x-6y+13=0
∴(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0 即(x+2)2+(y-3)2=0 ∴x=-2,y=3 ∴xy=(-2)3=-8 三、解方程的应用：【利用配方法分解因式】 例：解方程x4-15x2+10x+24=0
解：原方程可变形为 x4+10x2+25-25x2+10x-1=0 即（x2+5）2-(5x-1)2=0
∴(x2+5+5x-1)(x2+5-5x+1)=0 即 x2+5x+4=0 或 x2-5x+6=0 由x2+5x+4=0，得 x1=-1 ， x2=-4 由x2-5x+6=0，得 x3=2 ， x4=3
故原方程的解为x1=-1 ， x2=-4，x3=2 ， x4=3 四、求最值的应用：【利用配方后所得完全平方式的非负性】 1、代数式求最值：
例：求4x2+y2-2y-4x+15的最小值
解：可将原式配方，得 (2x-1)2+(y-1)2+13≥13
∴ 当x=
1，y=1时，原式有最小值13 22、二次函数求最值：
b2b2?4ac对于二次函数y=ax+bx+c,（a≠0）通过配方的y=a(x+) +
2a4a2
bbb2?4acb2?4ac①a＞0；当x= -时，y有最小值；②a﹤0；当x= -时，y有最大值
2a2a4a4a例：求函数y=-x2-16x+88的最值
解：y= -x2-16x+88= -（x2+16x-88）= -（x2+16x+64-64-88）= - (x+8)2+152
当x=-8时，y最大值=152 五、根的判别式的应用： 一般地，此类题型为方程系数中含有字母，通过配方法把b2-4ac变形为±(m±h)2+k的形式，从而判定一元二次方程根的情况。
例：已知关于x的方程x2-mx+m-2=0，求证：方程有两个不相等的实数根 证明：∵△=m2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4＞0
∴方程x2-mx+m-2=0有两个不相等的实数根 六、证明不等式
用配方法证明不等式的主要方法是通过配方产生非负数，然后利用非负数的性质，或者由平方式的非负性导出不等式。
例：证明无论x取何实数，代数式-2x2-12x+2的值不大于20
证明：∵-2x2-12x+2= -2（x2+6x）+2= -2（x2+6x+9-9）+2= -2（x+3）2+18+2= -2（x+3）2+20 又∵-2（x+3）2 ≤0 ∴-2（x+3）2+20≤20
故：无论x取何实数，代数式-2x2-12x+2的值不大于20 七、判定几何图形的形状：
例：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，求证：△ABC是等边三角形
证明：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0
∴2（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 ∴(a-b)2=0、(b-c)2=0、(a-c)2=0
∴a-b=0、 b-c=0 、a-c=0 即a=b、 b=c、 c=a
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形
