参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选
项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的相应位置。
111．?0,1???9,??? 12．10b11b12?b20?30b1b2?b30 13．?1或
314．ln2－1 15．甲、乙、丙
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤。
?3?1???sinx?cosx16．解：（Ⅰ） f(x)?23sinx?2cosx?4??4sinx????． ?2?26????ππ5ππ??又∵x??0，??，∴-≤x?≤， ??2≤4sin?x??≤4，
6666??∴f(x)max?4，f(x)min??2．
（II）由于f(x)?0，所以23sinx?2cosx解得 tanx?1 32cos2x?sinx?1cosx?sinx2 ?????22?2sin?x??2?sinx·?cosx·?4??22??1?1cosx?sinx1?tanx3?2?3 ???cosx?sinx1?tanx1?1317．解：（1）-1／4＜a＜-9／49，（2）a= -9／40，所以能。 18．解：（1）由a1?1及2Sn?2pan?pan?p(n?N?)，得： 2?2p?p?p ?p?1
（2）由2Sn?2an?an?1 ① 得2Sn?1?2an?1?an?1?1 ② 由②—①，得 2an?1?2(an?1?an)?(an?1?an) 即：2(an?1?an)(an?1?an)?(an?1?an)?0
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?(an?1?an)(2an?1?2an?1)?0 由于数列?an?各项均为正数， ?2an?1?2an?1 即 an?1?an?11 ?数列?an?是首项为1，公差为的221n?1等差数列，?数列?an?的通项公式是 an?1?(n?1)??
22 （3）由an?4Snn?1n(n?3)?2n?n?2n ，得：Sn? ?bn?24n?3 ?Tn?1?2?2?22?3?23????n?2n 2?Tn?2?22?23????(n?1)?2n?n?2n?1
?Tn?2?2?2????2?n?223nn?12(1?2n)??n?2n?1??(n?1)?2n?1?2
1?2 Tn?(n?1)?2n?1?2
19．解：设乙船运动到B处的距离为t海里.
则t2?AC2?AB2?2AB?ACcos120??102?202?2?10?20??t?107,又设?ACB??,则t2010720?,?sin?sin120?sin?321?700， 2，
则sin??21?0.65,???41?
7∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援。速 度为5√7海里/小时。
20解(1)f(0)?f(0?0)?0?f(0)?0?f(0)?0. 因为f(1)?f(1?1)?1?f(1)?1?f(1)， 所以f(1)?0.
(2)f(x)是奇函数. 证明：因为f(1)?f[(?1)2]??f(?1)?f(?1)?0所以f(?1)?0， f(?x)?f(?1?x)??f(x)?xf(?1)??f(x),因此，f(x)为奇函数. (3）由f(a2)?af(a)?af(a)?2af(a),f(a3)?a2f(a)?af(a2)?3a2f(a)，由此加以猜测f(an)?nan?1f(a). 下面用数学归纳法证明： 1° 当n=1时，f(a1)?1?a0?f(a)，公式成立；
2°假设当n=k时，f(ak)?kak?1f(a)成立，那么当n=k+1时，
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f(ak?1)?akf(a)?af(ak)?akf(a)?kakf(a)?(k?1)akf(a)，公式仍成立.
?n 由上两步可知，对任意n?N,f(an)?nan?1f(a)成立.所以un?f(2)?(1)n?1?f(1).
n22 因为f(2)?2,f(1)?f(2?)?2f()?12121111f(2)?0,所以f()??f(2)??， 224211?[1?()n]1112 un?(?)?()n?1(n?N),因此Sn?2?()n?1(n?N).
12221?21?2x?x?2??21．解：（1）函数的定义域为??1,???,f??x??2??x?1??. ??x?1x?1?? 由f??x??0得x?0; 由f??x??0得?1?x?0, 则增区间为?0,???,减区间为??1,0?. (2)令f??x??
2x?x?2??1??0,得x?0,由(1)知f?x?在??1,0?上递减,在?0,e?1?x?1?e?上递增,
1?1?1由f??1??2?2,f?e?1??e2?2,且e2?2?2?2,
e?e?e?1??x???1,e?1?时,f?x? 的最大值为e2?2,故m?e2?2时,不等式恒成立.
?e?(3)方程f?x??x2?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则
g??x??1?2x?1?.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1. 1?xx?1所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 。
所以，当a＞1时，方程无解；当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解；当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a＜2-2ln2时，方程无解. 综上所述，a?(1,??)?(??,2?2ln2)时，方程无解；
a?(3?2ln3,1]或
a=2-2ln2时，方程有唯一解； 时，方程有两个不等的解.
a?(2?2ln2,3?2ln3]
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