离散数学结构试题集5-6

A)循环群必定是阿贝尔群 B)循环群必定有等幂元 C)阿贝尔群必定是循环群 D)循 环群必定是交换群

22. 下列那个说法是正确的？（ ） A)同态一定是同构的 B）同构一定是同态的 C)同态一定是同余的 D)同态一定是等价的

23. 如果f：R->R，对于任意的x∈R,f(x)=5x,则f是从到的一个（ ） A)单一同态 B)满同态 C)双射同态 D)同构

24. 含有3个元素的群有（ ）种情形。 A)1 B) 2 C) 3 D)0

25. .设G是非零乘法群，判断下列哪个f不是G到G的同态映射。（ ） A）f(x)=|x| B)f(x)=-x C)f(x)=x+1 D)f(x)=1/x

26. 下面关于群的说法不正确的是：（ ） A）有么元 B）有零元 C）每个元素都有逆元 D）满足结合律

27. .下面那个是群。（ ） A）整数域上的加法运算 B）实数域上的乘法运算 C）自然数域上的除法运算整

数1到5之间的模6加法运算

28. .如果是一个环，下列关于环的说法错误的是（ ）。 A）是阿贝尔群 B）是阿贝尔群 C）运算*对于+是可分配的 D）运算+对于*是可分配的

29. 关于独异点说法错误的是（ ）。 A)必有左么元 B)必有右零元 C)必然满足结合律 D)必是含么半群

30. 关于阿贝尔群说法错误的是（ ）。 A)必有左么元 B)必有右零元 C)必然满足交换律 D)必是半群

三.判断题

1. 半群一定是独异点。( )

2. 代数系统中有可能有很多个左零元和右零元，它们有可能相等，也有可能不等。( )

3. 群中不可能有零元。( )

4. 群中的某些元素可能有多个不同的逆元。 （ ）

D） 5. 群的运算一定符合交换律。（ ）

6. 如果定义在集合A上的*运算既有左零元，又有右零元，那么必有唯一的零元。（ ）

7. 循环群必有等幂元。（ ）

8. 有等幂元的群一定是有限群。（ ）

9. 阿贝尔群运算一定符合交换律。（ ）

10. 有限群一定有么元。（ ）

11. 含有零元的半群叫独异点。（ ）

12. 在群中，出了么元外，可能还还有其他等幂元。（ ）

13. 对一个群，它的任意一个非空有限子集B, 如果*在B上封闭，则一定也是群。 （ ）

14. .循环群一定是阿贝尔群。（ ）

15. 同构的一定是同态的。（ ）

16. 同态可以诱导一个唯一的等价关系。（ ）

17. .f是代数系统到代数系统的同态映射，如果半群，则在f作用下，同 态象也是半群。（ ）

18. 循环群中必有零元。（ ）

19. (*表示乘法)与同构。（ ）

20. 定义在自然数集合上的模k加法是一个群。（ ）

四.计算题

1. 验证二元运算 在实数集 上是否满足交换律和结合律？ 2. 对于实数集合R，在下面表格中填写“是”或“否”

可结合性 可交换性 有么元 有零元

+ - * max min |x-y| 3.

.设G={[1],[2].[3],[4],[5],[6]},G上的二元运算如表所示。问G是循环群吗(写出验 证过程)？若是，找出生成元。

x [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [6] [5] [4] [3] [2] [1] 4. 考察代数系统，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？如不是，找出反例。 1) ∈R当且仅当（x<0∧y<0）∨(x≥0∧y≥0) 2) ∈R当且仅当|x-y|<10

5. 考察代数系统，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？如不是，找出反例。 1) ∈R当且仅当（x=y=0）∨(x≠0∧y≠0) 2) ∈R当且仅当x≥y

五.证明题

1. 设A=｛a，b｝，〈A，*〉为半群，且a*a=b。证明：a*b=b*a 。

2. 定义I+上的两个二元运算为： a*b=ab

a○b=ab a,b∈I+ 证明：*对○是不可分配的。

3. 如果是半群，且*是可交换的，称是可交换半群。证明：如果S中有元素a,b， 使得a*a=a和b*b=b,则（a*b）*(a*b)=a*b。

4. 设是群，且|S|=2n，n∈I+。证明：在S中至少存在a≠e，使得a*a=e，其中e为么元 。

5. 证明：如果f是由到的同态映射，g是由到的同态映射，那么，g 。f是由到的同态映射。

6. 设f是从群到的同态映射,则f是入射当且仅当Ker(f)={e}。其中e是G1中 的么元。

7. 设是一个独异点，且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是么元，证明 是一个阿贝尔群。

8. 设是一个代数系统，且对于任意的a∈A,有a★b=a,证明二元运算*对★时可分 配的。

第7章

一.填空题

1. 把（ ）的图叫做简单图。

2. 无向图具有一条欧拉路，当且仅当图是联通的，而且（ ）。

3. 把（ ）的图叫做完全图。

4. 把（ ）的图叫做连通图。

5. 如果一个连通图有m个结点，则它的完全关联矩阵的秩为（ ）。

6. 含有平行边的任何一个图叫做（ ）。

7. 给定图G,若存在一条路（ ），这条路叫做汉密 尔顿路。

8. 在一个含有n个节点的图中，度数为奇数节点的个数必为（ ）个。

9. 在含有n个节点的完全图中，其边数为（ ）。

10. 若图G只有一个连通分支，则G叫作（ ）。

11. 无回路的连通图又叫做（ ）。

12. 给定一个无孤立节点的图G，若存在一条路，经过图中每边一次仅且一次，则这条路叫做

（ ）。

13. G是具有n个节点的简单图，如果G中每对节点度数之和大于等于n，则G中存在一条（

）。

14. 设G=是一个无向图，如果能够把G的所有节点和边画在平面上，且使得任何两条边

出了端点之外没有其他的交点，就称G为（ ）。

15. 还有v个节点，e条边,r个面的连通平面图G,满足欧拉公式（ ）。

二.选择题

1. 如果一个连通图有m个结点，则它的完全关联矩阵的秩为（ ） A)m B)m+1 C)m-1 D)m/2