教学资源网 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第2讲 三角变换与解三角形
考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β
. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝2tan α
1－tan2α. 3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理
asin A＝bsin B＝csin C
＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝a2R，sin B＝bc
2R，sin C＝2R. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2
推论：cos A＝2bc，cos B＝2ac，cos C＝2ab. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 6．面积公式
S111
△ABC＝2bcsin A＝2acsin B＝2absin C.
7．解三角形
第1页（共14页）
山东世纪金榜科教文化股份有限公司教学资源网 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．
热点一 三角变换
π43π2π
例1 (1)已知sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于( )
35234
A．－
54C. 5
3B．－
53D. 5
1＋sin βππ
(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则( )
22cos βπ
A．3α－β＝
2π
C．3α＋β＝
2
π
B．2α－β＝ 2π
D．2α＋β＝ 2
2
思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋π)进行比较．
3
(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系． 答案 (1)C (2)B
π43π
解析 (1)∵sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，
3523343
∴sin α＋cos α＝－， 225∴
314sin α＋cos α＝－， 225
2π2π2π∴cos(α＋)＝cos αcos－sin αsin
333134
＝－cos α－sin α＝. 225
1＋sin βsin α1＋sin β(2)由tan α＝得＝，
cos βcos αcos β即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， π
∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．
2ππ
∵α∈(0，)，β∈(0，)，
22
第2页（共14页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司
教学资源网 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
ππππ∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，
2222ππ
∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，
22π
∴2α－β＝.
2
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
π
设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.
3
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
θcos 2θ
(2)若θ是第二象限角，且f()＝0，求的值．
21＋cos 2θ－sin 2θ
πππ1－cos 2x13解 (1)f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x＝cos 2xcos－sin 2xsin＋＝－sin 2x.
333222所以f(x)的最小正周期为T＝θ
(2)因为f()＝0，
2
133所以－sin θ＝0，即sin θ＝，
223又θ是第二象限角， 所以cos θ＝－1－sin2θ＝－
6
. 3
1＋32π
＝π，最大值为. 22
cos2θ－sin2θ?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?cos θ＋sin θcos 2θ
所以＝＝＝ 22cos θ1＋cos 2θ－sin 2θ2cosθ－2sin θcos θ2cos θ?cos θ－sin θ?63
＋336－32－2＝＝＝.
4626
2×?－?3－
热点二 解三角形
cos B2ab
例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sin A，＋＋＝0.
cos Ccc(1)求边c的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
cos B2ab
思维启迪 (1)将＋＋＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C，进而求c.(2)只需求ab的最
cos Ccca2＋b2－c2
大值，可利用cos C＝和基本不等式求解．
2ab
第3页（共14页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司
教学资源网 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
cos B2ab解 (1)∵＋＋＝0，
cos Ccc∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0，
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0， ∴sin A＋2sin Acos C＝0， ∵sin A≠0，
1
∴cos C＝－，∵C∈(0，π)
22πa∴C＝，∴c＝·sin C＝3.
3sin A
22
1a＋b－3
(2)∵cos C＝－＝，
22ab
∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即ab≤1. 13
∴S△ABC＝absin C≤. 24∴△ABC的面积最大值为
3
. 4
思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径； (3)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C.
b
(1)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，则等a
于( ) A.2 C.3
B．22 D．23 π
(2)(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC
3的面积是( ) A．3 33C. 2
答案 (1)A (2)C
解析 (1)因为asin Asin B＋bcos2A＝2a，由正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B＝2sin A，
93B. 2D．33
第4页（共14页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司
