5. 已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1＝20元和P2＝30元，该消费者的效用函数为U＝3X1X22，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？
解答：根据消费者的效用最大化的均衡条件
MU1P1 ＝ MU2P2
其中，由U＝3X1X22可得
dTU2
MU1＝＝3X2
dX1dTU
MU2＝＝6X1X2
dX2
于是，有
3X2202 ＝ 6X1X230
4
整理得 X2＝X1 (1)
3
将式(1)代入预算约束条件20X1＋30X2＝540，得
4
20X1＋30·X1＝540
3
解得 X1＝9
将X1＝9代入式(1)得
X2＝12
因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为
错误!
将以上最优的商品组合代入效用函数，得
*2
U*＝3X*9×122＝3 888 1(X2)＝3×
它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3 888。
6. 假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为QdA＝20－4P和d
QB＝30－5P。
(1)列出这两个消费者的需求表和市场需求表。
(2)根据(1)，画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。 解答：(1)由消费者A的需求函数QdA＝20－4P，可编制消费者A的需求表；由消费者B
d
的需求函数QB＝30－5P，可编制消费B的需求表。至于市场的需求表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者A、B的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者A和B的需求函数加总来求得市场
d
需求函数，即市场需求函数Qd＝QdA＋QB＝(20－4P)＋(30－5P)＝50－9P， 然后运用所得到的市场需求函数Qd＝50－9P来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求表是相同的。
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按以上方法编制的3张需求表如下所示。
消费者A的需求表
P QdA 0 20 1 16 2 12 3 8 4 4 5 0 ,消费者B的需求表
P QdB 0 30 1 25 2 20 3 15 4 10 5 5 6 0 ,市场的需求表
Qd＝Q⺌eq \\o\\al(d,A)＋Qeq P \\o\\al(d,B)⺌ 0 50 1 41 2 32 3 23 4 14 5 5 6 0 (2)由(1)中的3张需求表，所画出的消费者A和B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3—4所示。
图3—4
在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格P＝5和需求量d
Q＝5的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在P≤5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当P＞5时，只有消费者B的需求曲线发生作用，所以，他的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数看，在P≤5
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的范围，市场需求函数Qd＝Q⺌eq \\o\\al(d,A)⺌＋Q⺌eq \\o\\al(d,B)⺌＝50－9P成立；而当P＞5时，只有消费者B的需求函数才构成市场需求函数，即Qd＝Q⺌eq \\o\\al(d,B)⺌＝30－5P。
7. 假定某消费者的效用函数为U＝x⺌eq \\f(3,8)⺌1x⺌eq \\f(5,8)⺌2，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。
解答：根据消费者效用最大化的均衡条件
⺌eq \\f(MU1,MU2)⺌＝⺌eq \\f(P1,P2)⺌
其中，由已知的效用函数U＝x⺌eq \\f(3,8)⺌1x⺌eq \\f(5,8)⺌1可得
MU1＝⺌eq \\f(dTU,dx1)⺌＝⺌eq \\f(3,8)⺌x－⺌eq \\f(5,8)⺌1x⺌eq \\f(5,8)⺌2 MU2＝⺌eq \\f(dTU,dx2)⺌＝⺌eq \\f(5,8)⺌x⺌eq \\f(3,8)⺌1x－⺌eq \\f(3,8)⺌2
于是，有
⺌eq \\f(\\f(3,8)x－\\f(5,8)1x\\f(5,8)2,\\f(5,8)x\\f(3,8)1x－\\f(3,8)2)⺌＝⺌eq \\f(P1,P2)⺌
整理得 ⺌eq \\f(3x2,5x1)⺌＝⺌eq \\f(P1,P2)⺌ 即有 x2＝⺌eq \\f(5P1x1,3P2)⺌(1) 将式(1)代入约束条件P1x1＋P2x2＝M，有
P1x1＋P2·⺌eq \\f(5P1x1,3P2)⺌＝M
解得 x⺌eq \\o\\al(*,1)⺌＝⺌eq \\f(3M,8P1)⺌
代入式(1)得x⺌eq \\o\\al(*,2)⺌＝⺌eq \\f(5M,8P2)⺌。 所以，该消费者关于两商品的需求函数为
⺌eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(x\\o\\al(*,1)＝\\f(3M,8P1) x\\o\\al(*,2)＝\\f(5M,8P2)))⺌
8. 令某消费者的收入为M，两商品的价格为P1、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为－a。求该消费者的最优商品消费组合。
解答：由于无差异曲线是一条直线，且其斜率的绝对值MRS12＝－⺌eq \\f(dx2,dx1)⺌＝a，又由于预算线总是一条直线，且其斜率为－⺌eq \\f(P1,P2)⺌，所以，该消费者的最优商品组合有以下三种情况，其中第一、二种情况属于边角解，如图3—5所示。
第一种情况：当MRS12＞⺌eq \\f(P1,P2)⺌，即a＞⺌eq \\f(P1,P2)⺌时，如图3—5(a)所示，效用最大化的均衡点E位于横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即x⺌eq \\o\\al(,1)⺌＝⺌eq \\f(M,P1)⺌，x⺌eq \\o\\al(*,2)⺌＝0。也就是说，消费者将全部收入都购买商品1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
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图3—5
第二种情况：当MRS12＜⺌eq \\f(P1,P2)⺌，即a＜⺌eq \\f(P1,P2)⺌时，如图3—5(b)所示，效用最大化的均衡点E位于纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即x⺌eq \\o\\al(,1)⺌＝0，x⺌eq \\o\\al(,2)⺌＝⺌eq \\f(M,P2)⺌。也就是说，消费者将全部收入都购买商品2，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
第三种情况：当MRS12＝⺌eq \\f(P1,P2)⺌，即a＝⺌eq \\f(P1,P2)⺌时，如图3—5(c)所示，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算线上任何一点的商品组合，即最优解为x⺌eq \\o\\al(,1)⺌≥0，x⺌eq \\o\\al(,2)⺌≥0，且满足P1x1＋P2x2＝M。此时所达到的最大效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出，显然，该效用水平高于其他任何一条在既定预算约束条件下可以实现的用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
9. 假定某消费者的效用函数为U＝q0.5＋3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：
(1)该消费者的需求函数； (2)该消费者的反需求函数；
(3)当p＝⺌eq \\f(1,12)⺌，q＝4时的消费者剩余。 解答：(1)由题意可得，商品的边际效用为
－
MU＝⺌eq \\f(?U,?q)⺌＝0.5q0.5
货币的边际效用为
λ＝⺌eq \\f(?U,?M)⺌＝3
于是，根据消费者均衡条件⺌eq \\f(MU,p)⺌＝λ，有
－
⺌eq \\f(0.5q0.5,p)⺌＝3
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