第3章 中值定理与导数的应用
内容概要 名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容（3.1、3.2） 条件 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导；（3）结论 至少存在一点ξ?(a,b)使得f(a)?f(b) f/(ξ)?0 至少存在一点拉格朗日中值定理 柯西中值定理 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导 ??(a,b) 使得f/(ξ)?f(b)?f(a)b?af(x)、g(x)：（1）在[a,b]上连续，在(a,b)内可导；（2）在(a,b)内每点处g/至少存在一点ξ?(a,b)使得(x)?0 f/(ξ)f(b)?f(a) ?/b?ag(ξ)3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与?型未定式 ?通分或取倒数化为基本形式 0?型或型； 0?0?2）0??型：常用取倒数的手段化为型或型，即： 0?00??0????或0????； 1/?01/0?1）???型：常用通分的手段化为1）0型：取对数得000取对数化为 基本形式 ?e0?ln0，其中0?ln0?0??????； 1/0?00?1/?0或0?ln0?0???2）1型：取对数得1???e??ln1， 00? 1/?0???； 或??ln1???0?1/0?其中??ln1???0?3）?型：取对数得?00?e0?ln?， 00? 1/?0???。 或0?ln??0???1/0?
其中0?ln??0???课后习题全解
习题3-1
★★4.试证明对函数
y?px2?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?px2?qx?r在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从
而有
f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)f?(ξ)?，即2ξ?q?，
b?ab?a解得ξ
?b?a，结论成立。 2★★8.若4次方程
a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明：
4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0
的所有根皆为实根。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。 证明：令f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4
则由题意，∵又
f(x)有4个不同的实数零点，分别设为x1,x2,x3,x4，
f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]、[x3,x4]上连续，在(x1,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)上可导，
f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?0，
?(x2,x3)、ξ3?(x3,x4)
∴由罗尔中值定理，至少有一点ξ1?(x1,x2)、ξ2使得
f?(ξ1)?f?(ξ2)?f?(ξ3)?0，即方程4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0至少有3个实根，又
三次方程最多有3个实根，从而结论成立。
★★★9.证明：方程
x5?x?1?0只有一个正根。
知识点：零点定理和罗尔定理的应用。
思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来
讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。
51]上连续，且f(1)?1?0，f(0)??1?0， 解：令f(x)?x?x?1，∵f(x)在[0,∴由零点定理，至少有一点ξ假设x则
5?(0,1)，使得f(ξ)?ξ5?ξ?1?0；
?x?1?0有两个正根，分别设为ξ1、ξ2（ξ1?ξ2），
f(x)在在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，且f(ξ1)?f(ξ2)?0，
从而由罗尔定理，至少有一点ξ∴方程x5?(ξ1,ξ2)，使得f?(ξ)?5ξ4?1?0，这不可能。
?x?1?0只有一个正根。
★★★11.证明下列不等式：
（1）
arctana?arctanb?a?b ； （2） 当 x?1时，ex?ex ；
。
（3） 设 x11?0，证明ln(1?x)?x； （4） 当x?0时，ln(1?)?x1?x知识点：利用拉格朗日中值定理。
思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数y?f(x)，通过式子f?(ξ)?（或
f(b)?f(a)b?af(b)?f(a)?f?(ξ)(b?a)）证明的不等式。
证明：（1）令f(x)?arctanx， ∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
arctana?arctanb?f?(ξ)(b?a)?1b?a?b?a21?ξ。
（2）令
f(x)?ex(x?1)，∵f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，
x∴由拉格朗日中值定理，得e∵1??e ?eξ(x?1)，
ξ?x，∴ex?e?eξ(x?1)?e(x?1)?ex?e，从而当 x?1时，ex?ex。
（3）令
f(x)?ln(1?x)(x?0)，∵f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?x)?ln(1?x)?ln(1?0)?f?(ξ)(x?0)?1x， 1?ξ∵0?ξ?x，∴
1x?x，即x?0， ln(1?x)?x。 1?ξ（4）令
f(x)?lnx(x?0)，∵f(x)在[x,1?x]上连续，在(x,1?x)内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?11)?ln(1?x)?lnx?f?(ξ)(1?0)?xξ。
，
∵x?ξ?1?x，∴
1111?，即当x?0时，ln(1?)?x1?xξ1?x★★12.证明等式：2arctanx?arcsin2x?π(x?1). 21?x知识点：f?(x)?0?f(x)?C（C为常数）。
思路：证明一个函数表达式f(x)恒等于一个常数，只要证f?(x)?0
2x(x?1)， 21?x当x?1时，有2arctan1?arcsin1?π；当x?1时，有
证明：令f(x)?2arctanx?arcsin2f?(x)??1?x212(1?x2)?2x?2x212?2x2 ????22222(1?x)1?x(1?x)1?x2x21?()1?x2；
22?(?)?0，∴f(x)?C?f(1)??221?x1?x2x?π(x?1)成立。 ∴2arctanx?arcsin21?x?★★★13.证明：若函数
f(x)在(-?,??)内满足关系式f?(x)?f(x)，且f(0)?1，则f(x)?ex。
知识点：f?(x)?0?f(x)?C
思路：因为 f(x)?ex?e?xf(x)?1，所以当设F(x)?e?xf(x)时，只要证F?(x)?0即可 证明：构造辅助函数F(x)?e?xf(x)，
则F?(x)?e∴F(x)?e∴
?x?xf?(x)?e?xf(x)?0；
f(x)?C?F(0)?1
f(x)?ex。
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有
f(a)?f(b)?0,f(c)?0(a?c?b) ，
★★★14.设函数
试证在(a,b)内至少存在一点ξ，使f??(ξ)?0。
知识点：拉格朗日中值定理的应用。 思路：关于导函数f(n)(ξ)在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析
各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。
证明：∵ f(x)在[a,c]、[c,b]上连续，在(a,c)、(c,b)内可导，
∴由拉格朗日中值定理，至少有一点ξ1?(a,c)、ξ2使得又
?(c,b)，
f?(ξ2)?f(c)?f(b)f(a)?f(c)?0，f?(ξ1)??0；
c?ba?cf?(x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，从而至少有一点ξ?(ξ1,ξ2)，
