数列求和与通项公式求法Page 127 of 9
N求数列?an?的通项公式
【取对数法】两边取对数有lgan?1?qlgan?lgp，令bn?lgan，则bn?1?qbn?lgp，
【变式2】．已知数列
1?an?中，a=1，且满足，an+13=3an2,n 六．取倒法：常用于对复杂分式转化为例6．已知数列?an?中，a11p=+r或等等常见数列形式. anan-1an-1(n 2)，求通项公式
3an-1+2?2，an=an
【变式 】已知数列?an?中，a1?1，an?1?七.含sn,an混合型
an，求通项公式an
3nan?12an，求数列?an?的通项公式 3例7．在数列{an}中，若a1=1，且满足sn=1-【变式】．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn?1，且
6Sn?(an?1)(an?2),n?N*求{an}的通项公式；
n?1n（其中p，q均为常数）―――－二次齐次递推关系 八．形如n?2设an?1?tan?s(an?tan?1)，
a?pa?qa则an?1?(s?t)an?stan?1, 令?消去参数t得s（1）
2?s?t?p
?st?q?ps?q?0 ①
若方程组①有两组不同的实数解
(s1,t1),(s2,t2),
则an?1?t1an?s1(an?t1an?1), an?1?t2an?s2(an?t2an?1),
即?an?1?t1an?、?an?1?t2an?分别是公比为s1、s2的等比数列，由等比数列性质可得
an?1?t1an?(a2?t1a1)s1n?1,
n?1 an?1?t2an?(a2?t21a1)s2∵t1?t2,由上两式消去an?1可得an?（2）
若方程组①有两组相等的解?,
?a2?t1a1?.sn?a2?t2a1.sn.
12s1?t1?t2?s2?t1?t2??s1?s2，易证
?t1?t2此时1t??s1，则
2n?1an?1?t1an?s1?an?t1an?1??s1(an?1?t1an?2)???s1?an?,即?n?是等差数列， ?n?1?n?2s1s1s1?s1?aa1a2?s1a1由等差数列性质可知n， ????n?1.n2ss1s11(a2?t1a1)，
an?1ana2?s1a1??a1a2?s1a1?a2?s1a1?n??.n?s1． 所以an???22?s??s1s1?????1?将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去t即得
数列求和与通项公式求法Page 128 of 9
s2?ps?q?0，显然s1、s2就是方程x2?px?q的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列an?1?pan?qan?1的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：
设递推公式为an?1?pan?qan?1,其特征方程为x2?px?q即x2?px?q?0， 【结论】若方程有两相异根1、s2，则an=c1s1n+c2s2n； 若方程有两等根s1=7．数列an满足1ss2，则an=(c1+nc2)s1n. 其中1、2可由初始条件确定。
cc??a?2,a2?5,an?1?4an?3an?1?0,(n?2)，求通项公式an
1,a2=3,an+1-4an+4an-1=0,(n 2)，求通项公式
第五节：数列的综合应用
编题：杨永康 审核：叶钦耀
【变式】数列an满足a1=??an
一．课标要求：
能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系与等比关系，并能用有关知识解决相应的问题
二．例题分析
题型1：实际应用
例1. 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，?是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固
n－1
定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r），第二年所
n－2
交纳的储备金就变为a2（1＋r），??，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.
例2.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)?1但如果月产量超过96吨，将会给环境造成危害. n(n?1)(2n?1)吨，
2（1）请你代表环保部门给该厂拟定最长的生产周期.
（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a万元的环保税，已知每吨产品售价0.6万
2元，第n个月的工人工资为g(n)?n?n?1万元，若每月都赢利，求出a的范围.
8525例3.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+
1)万元（n为正整数）. 2n（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
例4.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列?an?的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列?bn?的前六项. (1)求数列?an?和{bn}的通项公式; (3)设
(2)求视力不小于5.0的学生人数;
cc1c2????n?bn?1?n?N?? a1a2an求数列?cn?的通项公式
数列求和与通项公式求法Page 129 of 9
例5.某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9?．该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x 套的旧设备，
（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
（2）依照(1)更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考：
1.1=2.38 1.1=2.60 1.1=2.85
题型2：综合问题
例6.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝前n项和Sn
?11109
1.0049=1.04 1.0049=1.05 1.0049=1.06 11109b1b2b3b?2?3?...n(n为正整数)，求数列{bn}的2222n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例7.（09山东卷文20）等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.（1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an例8.已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，且3an?1?2Sn?3（n为正整数）. （1）求数列?an?的通项公式；
（2）记S?a1?a2???an??.若对任意正整数n，kS?Sn恒成立，求实数k的最大值.
例9.（09北京卷文20）设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N?,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若p?11,q??，求b3； 23数列求和与通项公式求法Page 130 of 9
（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
例10.（09广东卷文20）已知点（1，
1）是函数f(x)?ax(a?0,且a?1）的图象上一点，等比3数列{an}的前n项和为f(n)?c,数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－
Sn?1=Sn+Sn?1（n?2）.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{
10001的最小正整数n是多少? }前n项和为Tn，问Tn>
2009bnbn?1开n=n=nP=n*n/4+24*n n2?3n例11. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn?。 2（1）求数列{an}的通项公式；
??an (n为奇数）（2）若bn??n，数列{bn}
2 （n为偶数）??的前n项和为Tn，求Tn；
（3）A同学利用第（2）小题中的Tn，设计 了一个程序如图，但B同学认为这个程序如
果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远 循环下去，而无法结束）。你是否同意B同学 的观点？说明理由。
例12. 设数列?an?的前
Tn-P=2009? 是 打印否 结n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记
bn?4?an(n?N*)。1?anw.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；
（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；
*（III）记cn?b2n?b设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?21n?(n?N)，
3； 2
数列求和与通项公式求法Page 131 of 9
三．课外作业
221. 数列{an}的通项an?n(cosn?n??sin2)，其前n项和为Sn. 33(1) 求Sn;
(2) bn?S3n,求数列｛bn｝的前n项和Tn. nn?42.等差数列{an}的公差d?0，它的一部分组成数列ak1,ak2,ak3,?,akn为等比数列，其中k1?1，
k2?5，k3?17.
（Ⅰ）求等比数列ak1,ak2,ak3,?,akn的公比q； （Ⅱ）记f(n)?kn，求f(n)的解析式； （Ⅲ）求k1?k2???kn的值;
3.已知数列{an}、{bn}满足a1?1，a2?3，（1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列?an?的通项公式；
（3）数列{cn}满足cn?log2(an?1)(n?N)，求Sn?4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n,*bn?1?2(n?N*)，bn?an?1?an。 bn111。 ????c1c3c3c5c2n?1c2n?1Sn111)在直线y?x? 上；数列{bn}满足n22bn?2?2bn?1?bn?0(n?N?)，且b3?11，它的前9项和为153.
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设cn?3(2an?11)(2bn1?)，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn?k?对一切n?N都57成立的最大正整数k的值；
?1,l?N)??an(n?2l??m?N（3）设f(n)??，是否存在，使得f(m?15)?5f(m)成立？若存在，???bn(n?2l,l?N)求出m的值；若不存在，请说明理由.
