第一章 质点运动学
习题1
【1-1】已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(cosωti?sinωtj)，其中?为常量．
求：（1）质点的轨道； （2）速度和速率。
解：(1) 由r=R(cosωti?sinωtj)，知：x?Rcos?t ，y?Rsin?t 消去t可得轨道方程：x?y?R
∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；
222?????????????dr（2）由v?，有速度：v???Rsin?ti??Rcos?tj，而v?v，有速率：
dtv?[(??Rsin?t)2?(?Rcos?t)2]12??R。
???2【1-2】已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4ti?(3?2t)j，式中r的单位为
m，t的单位为s。
求：（1）质点的轨道；
（2）从t?0到t?1秒的位移； （3）t?0和t?1秒两时刻的速度。
???22解：（1）由r?4ti?(3?2t)j，可知x?4t ，y?3?2t，消去t得轨道方程为：
x?(y?3)2，
∴质点的轨道为抛物线。
?????dr（2）由v?，有速度：v?8ti?2j，从t?0到t?1秒的位移为：
dt1?????1??r??vdt??(8ti?2j)dt?4i?2j
00?????（3）t?0和t?1秒两时刻的速度为：v(0)?2j，v(1)?8i?2j 。
??2?【1-3】已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的
单位为s.
求：（1）任一时刻的速度和加速度；
（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
?????dv??dr??解：（1）由v?，有：v?2ti?2j，a?，有：a?2i；
dtdt 1
1??2222（2）而v?v，有速率：v?[(2t)?2]?2t?1 ∴at?dv?dt2tt?12，利用a?at?an有：an?222a2?at2?2t?12。
【1-4】一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为y1，升降机上升的高度为y2，运动方程分别为
y1?v0t? y2?v0t?12gt （1） 212at （2） 2 y1?y2?d （3） （注意到y1为负值，有y1??y1） 联立求解，有：t?2d。
g?a解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为g'?g?a， 利用d?12d?g't2，有：t?g'22d。 g?a【1-5】一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出， 求：（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程；
yv0h??drdvdv （3）落地前瞬时小球的，，。
dtdtdt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：
Ox?1212??x?v0t ，y?h?gt ，∴r?v0ti?(h?gt)j；
22gx2（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y??2?h（为抛物线方程）；
2v0????dr12???v0i?gtj， （3）∵r?v0ti?(h?gt)j，∴dt2???dv????gj。在落地瞬时，有：t?即：v?v0i?gtj，dt
2
???2hdr?v0i?2ghj ，∴
gdt
又∵ v?222vx?vy?v0?(?gt)2，
g2ghg2tdv??∴ 。
2dt[v2?(gt)2]12v0?2gh0
【1-6】路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.
证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为x1，足的坐标为x2， 由相似三角形关系可得：
x1?x2h2h1?，∴x1?x2 x1h1h1?h2x2h1h2O两边对时间求导有：
dx1h1dx2dx2??v1， x1 ，考虑到：dth1?h2dtdtdx2h1?v1（常数）。 dth1?h22知人影中头的速度：v影?【1-7】一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t时间间隔内，则质点走过的路程为多少？
(m)，在 t从0秒到3秒的
解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：v?dx?4?4t 若v?0 解得 t?1s， dt?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m
?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m
?x??x1??x2?10m。
【1-8】一弹性球直落在一斜面上，下落高度h?20cm，斜面对水平的倾角??30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。
解：小球落地时速度为v0??2gh，建立沿斜面的直角坐标系，
以小球第一次落地点为坐标原点如图示，
vx0?v0cos600→ x?v0cos600t?1gcos600t2 （1） 21gsin600t2 （2） 22v0， gvy0?v0sin600→ y?v0sin600t?第二次落地时：y?0，代入（2）式得：t? 3
22v012?2gh02所以：x?v0cos60t?gcos60t???4h?80cm。
2gg0【1-9】地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为9.8m/s2
。
解：由向心力公式：F向?m?R，
赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向?mg，而现在赤道上物体的向心力为：
2F'向?ma
∴
?mgg980????16.98?17 ?0maa3.4【1-10】已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx?v0cos?，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有：g?yv2?1?(v0cos?)2?1，
v0vx?ganx?v02v0cos2??1?；
gg（2）在落地点时子弹的v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成?角，
2v0则：an?gcos?，有：gcos?? 则： ?2?。
?2gcos?2v0【1-11】飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，
问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
解：设此时飞机距目标水平距离为x有：
yv0x?v0t┄①，h?12gt┄② 2h?Oxx?77.50。 h????vA与水平面的夹角为?；vB【1-12】设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．
联立方程解得：x?447m，∴??arctan与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。
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