第十三章函数列与函数项级数的复习题
一、 判断题。
1. 函数项级数?un?x?在数集D上一致收敛的充分必要条件是函数列{( )
2. 函数列{f（X）}在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N，使得当n，m﹥N时，对一切X∈D，都有｜( )
3. 若函数列{ fn }在区间Ⅰ上一致收敛，且每一项都连续，则其
极限
函数
u?x?n}在D上一致收敛于零。
fn
（X）﹣
fm
（X）｜﹤ε。
f
在Ⅰ上也连续。
( )
4. 若函数项级数∑un（X）在区间[a,b]上一致收敛，且每一项
不都连续，则其和函数在[a,b]上是连续的。 ( )
5. 若函数列{ fn }在区间[a,b]上一致收敛, 且每一项都连续,
则
?limfn
an??b（X）dx =
lim?n??bafn
（X）dx。
( ) 二、 填空题。
6．默写M判别法： 。
7. 设{sn?x?}是函数项级数?un?x?的部分和函数列。若{sn?x?}在数集D上一致收敛于函数S?x?,则称函数项级数?un?x?在D上
于函数S?x?，或称?u?x?在D上 n 。
8. 若函数项级数则?cosnx?sinnsn2在???，???上一致收敛，
n2在???，???上 。
9. 若函数项级数?un?x?在[a,b]上一致收敛，且每一项un?x?都连续，则??aun?x?dx = 。
三、 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性。 10．?x1?nnb4x2，x∈[1,10]
11. ?x2，x∈[0,1]
n12. ?x，xn!2∈[-a,a]
113.
2??x=fnx?n2,n=1,2,3…,D=(-1,1)
x四、 设s?x?=?x2，x?[-1,1]，计算积分?0s?t?dt.
?n?1n?1n五、 证明：设
f?x??f?x?，x∈D，annn（an＞0）。 ?0（n??）
n若对每一个正整数n有∣在D上一致收敛于
f?x??f?x?∣≦a，x∈D，则{
fn}
f。
答案
一、 判断题。
1.（×）; 2.( √ ) ; 3.( √ ); 4.( × ); 5.( √ )。 二、 填空题。
6.M判别法：设函数项级数?un?x?定义在数集D上，?Mn 为收敛的正项级数，若对一切x?D,有∣un?x?∣≦Mn，2，3…，n=1，则函数项级数?un?x?在D上一致收敛。 7．一致收敛,一致收敛。 8. 一致收敛。 9. ?a?un?x?dx
三、 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性。 10.解：x?[1,10]，∣ ∵?10x1?n4bx∣≦210n4
n2收敛
x1?n14 ∴根据M判别法可知：?nx
2在x?[1,10]上一致收敛。
11．解：x∈[0,1]，∣x2∣≦
nn2 ∵?1n2收敛
n ∴根据M判别法可知：?x2在[0,1] 上一致收敛。
n12. 解：x∈[-a,a]，而∣
x∣≦a
n!n!nn ∵?an 收敛
n! ∴根据M判别法可知：?x在[-a,a]上一致收敛。
nn!2 13. 解：limn??2??x=fnlimx?n??1n =
x2=∣x∣
f?x?n??∣x∣，n??，N?Nn???，?x???1,1?
1 ??﹥0，要使∣
1f?x?-∣x∣∣﹤?
1 ∣
x2?n-∣x∣∣=2nx22?1 ≦n=
?21n2x1nn﹤?
n﹥
1?，则取N?11?﹥0
??﹥0，?N??﹥0，?n﹥N， ?x??1,1
?? 有∣
所以
nf?x?-∣x∣∣﹤?
nf?x?在（-1,1）是一致收敛的。
n?1四、 解：x?[-1,1]，而∣x2∣≦
1nn2
∵?1n2收敛
?n?1 ∴根据M判别法可知：?x2在[-1,1]上一致收敛，
n?1n 又x2在[-1,1]上连续，从而由逐项求积可知
n?1n ?0s?t?dt???0t2dt??x3
x?x?n?1n?1nnn?1n五、 证明：liman? 0? ??﹥0，?N?N?,?n﹥N时，
n?? 有∣an?0∣﹤??an﹤?
f?x??f?x? ，x?Dn,∣
f?x?-f?x?∣≦ann﹤?
即证
，x?Df?x?f?x?（n??）
n??。
