P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)?
P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998
0.96?0.98?0.04?0.0529.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述
三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得
P(A|D)? ?P(AD)P(A)P(D|A)?
P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057
0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.330.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为
0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.
P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
i?14?0.9?70.?950.?97 ?1?0.9831.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率
不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.则1?(0.8)?0.9
n即为 (0.8)?n 故0.1n≥
1=11.07，至少必须进行11次独立射击. lg832.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.
【证】 P(A|B)即?P(A|B)P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦P(AB)P(B)?P(AB)P(B)，即P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B) 因此 P(AB)?P(A)P(B),故A与B相互独立. 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则
111，求将此密码破译出的概率. 534423P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1????0.6 i?15343 9
34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击
中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
P(A)??P(A|Bi)P(Bi)=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)×0.2+
i?03(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)×0.6+0.4×0.5×0.7×1=0.458。
35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，
且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 解(1)p1??Ck?03k10(0.35)(0.65)k10?kk?0.5138；(2)p2??C10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241
k?410———————————————————————————————————————
36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
24C6921294P(A)?C)() （1）P(A)?，也可由6重贝努里模型：6(61010106P10（2）6个人在十层中任意六层离开，故P(B)?6
10（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C110种可能结果，再从
2六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情
况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余
3118层中任一层离开，共有C19C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；
③4个人都不在同一层离开，有P94种可能结果，
故P(C)?C10C6(C9C4C8?C9?P9)/10
6P10（4） D=B.故P(D)?1?P(B)?1?6
1012131146
10
37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） p1?(3) p1??13!(n?3)!(2) p2?,n?3 n?1(n?1)!(n?1)!1?3!(n?2)!?;p2?,n?3 n!nn!38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率
【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由
0 ?x?y?a?x?y?x?(a?x?y)?y ???y?(a?x?y)?x构成的图形，即 a?0?x??2??0?y?a ?2?a??x?y?a?2?如图阴影部分所示，故所求概率为p?1. 439.某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）. 证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关. Pnk??111【证】p?k?,k?1,2,?,n Pnn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）. 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3. 在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的 小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为 512384?0.512,P(A1)??0.384, 10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008. 10001000P(A0)?41.对任意的随机事件A，B，C，试证 11 P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A). 【证】P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC) ?P(AB)?P(AC)?P(BC) 42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3. 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时， C33!3每个杯中最多放一球，故P(A1)?43? 48C114? 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故P(A3)?341621C131994C3C3?或 P(A2)??因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?? 816164316 43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}， C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥. 可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以 P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为 11n1n1nnP(C)?C2()()P(A)?[1?C 故n2n2n] 222244.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知 P（A）=P（B） （1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B） =0.5 n112()n] (2) 当n为偶数时，由上题知P(A)?[1?Cn2245.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数. 乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有 =（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反） （甲正>乙正）由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲正>乙正)= 1 246.证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A） 12
