上都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形半空间，这就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答。本节主要介绍竖向集中力下地基附加应力的布辛奈斯克解及矩形基础均布荷载、矩形基础三角形荷载、圆形基础均布荷载、条形基础均布荷载四种基础荷载组合的地基附加应力计算方法。
计算地基附加应力时，都把基底压力看成是柔性荷载，而不考虑基础刚度的影响。按照弹性力学，地基附加应力计算分为空间问题和平面问题两类。本节先介绍属于空间问题的集中力、矩形荷载和圆形荷载作用下的解答，然后介绍属于平面问题的线荷载和条形荷载作用下的解答，最后，再概要介绍一些非均质地基附加应力的弹性力学解答。 2.4.1 竖向集中力下的地基附加应力
2.4.1.1布辛奈斯克解
在弹性半空间表面上作用一个竖向集中力时，半空间内任意点处所引起的应力和位移的弹性力学解答是由法国J.布辛奈斯克(Boussinesq，1885)作出的。书上图39页的一系列公式。
建筑物作用于地基上的荷载，总是分布在一定面积上的局部荷载，因此理论上的集中力实际是没有的。但是，根据弹性力学的叠加原理利用布奈斯克解答，可以通过积分或等代荷载法求得各种局部荷载下地基中的附加应力。
这六个应力分量和三个位移分量的公式中，竖向正应力?z和竖向位移w最为常用，以后有关地基附加应力计算主要是针对 ?z而言的。
2.4.1.2 等代荷载法
如果地基中某点M与局部荷载的距离比荷载面尺寸大很多时，就可以用一个集中力P代替局部
22荷载，然后直接应用式(3-12c)计算该点的?z。为了计算的方便，以R?r?z代入书上39页式(2-9c)，则：
?z?3Pz32?(r2?z2)5/231?31P2?(r/z)2?1??5/2z2 (书40页2-12)
K?令
?z2?(r/z)2?1Pz2??5/2，则上式可改写为：
式中 K—集中力作用下的地基竖向附加应力系数，简称集中应力系数，按r/z值由40页表2-2查用。
若干个竖向集中力Pi(i?1,2,??n)作用在地基表面上，按叠加原理则地面下z深度处某点M的附加应力?z应为各集中力单独作用时在M点所引起的附加应力之总和，即：
n?K?z??Ki?1Piiz2?1z2n?Ki?1iPl (书41页2-14)
式中 Ki—第i个集中应力系数，按ri/z由书40页表2-2查得，其中ri是第i个集中荷载作用点到M点的水平距离。
2.4.2 矩形基础和圆形基础下的地基附加应力
2.4.2.1 矩形基础均布荷载
设矩形基础均布荷载面的长度和宽度分别为l和b，作用于地基上的竖向均布荷载(例如中心荷载
下的基底附加压力)为p0。先以积分法求矩形荷载面角点下的地基附加应力，然后运用角点法求得矩形荷载下任意点的地基附加应力。
以矩形荷载面角点为坐标原点o(书42页图2-15)，在荷载面内座标为(x、y)处取一微面积dxdy，并将其上的分布荷载以集中力p0dxdy来代替，则在角点o下任意深度z的M点处由该集中力引起的竖向附加应力d?z，按书39页式(2-9c)为：
d?z?3?0z3 (书42页2-15) 将它对整个矩形荷载面A进行积分：积分的过程见 (书43页2-16)
Kc222lbz(l?b?2z)1???arctan?2??(l2?z2)(b2?z2)l2?b2?z2?2?(x2?y2?z2)5/2dxdylbl2令
?b2?z2????
得：?z?Kcp0 Kc即是书中43的?c (书43页2-18) 又令m?l/b,n?z/b,(注意其中b为荷载面的短边宽度)则：
Kc22?1?mn(m?2n?1)m??arctan??22222222??(m?n)(1?n)m?n?1nm?n?1???
为矩形基础均布荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点应力系数，可按m及n值由书43
页表2-5查得。
对于矩形基础均布荷载附加应力计算点不位于角点下的情况，就可利用书43页式（2-18）以角点法求得。
（a）计算点o在荷载面边缘； （b）计算点o在荷载面内； （c）计算点o在荷载面边缘外侧；（d）计算点o在荷载面角点外侧 书44页 图2-16 以角点法计算均布矩形荷载下的地基附加应力
见书44页图2-16，计算点不位于矩形荷载面角点下有四种情况（在图中o点以下任意深度z处）。计算时，通过o点把荷载面分成若干个矩形面积，这样，o点就必然是划分出的各个矩形公共角点，然后再按书43页式（2-18）计算每个矩形角点下同一深度z处的附加应力?z，并求其代数和。四种情况的算式分别如下：
（a）计算点o在荷载面边缘
式中KcI和KcII分别表示相应于面积I和II的角点应力系数。必须指出，查43页表2-5时所取用边长l应为任一矩形荷载面的长度，而b则为宽度，以下各种情况相同，不再赘述。
zKc??(KcI?KcII)p0（b）计算点o在荷载面内
?z?(KcI?KcII?KcIII?KcIV)p0
如果o点位于载载面中心，则KcI?KcII?KcIII?KcIV，得?z?4KcIp0，此即利用角点法求均布的矩形荷载面中心点下?z的解，亦可直接查中点应力系数表（略）。
（c）计算点o在荷载面边缘外侧
此时荷载面abcd可看成是由Ｉ（ofbg）与Ⅱ（ofah）之差和Ⅳ（oecg）与Ⅲ（oedh）之差合成的，所以
?z?(KcI?KcII?KcIII?KcIV)p0
（d）计算点o在荷载面角点外侧
把荷载面看成由Ｉ（ohce）、Ⅳ(ogaf)两个面积中扣除Ⅱ(ohbf)和Ⅲ(ogde)而成的，所以
?z?(KcI?KcII?KcIII?KcIV)p0
2.4.2.2 矩形基础三角形分布荷载
2.4.2.3 圆形基础均布荷载
2.4.3 线荷载和条形荷载下的地基附加应力 2.4.4 非均质和各向异性地基中的附加应力
以上介绍的地基附加应力计算都是考虑柔性荷载和均质各向同性土体的情况，而实际上往往并非如此，如地基中土的变形模量常随深度而增大，有的地基土具有较明显的薄交互层状构造，有的则是由不同压缩性土层组成的成层地基等等。对于这样一些问题的考虑是比较复杂的，目前也未得到完全的解答。但从一些简单情况的解答中可以知道：把非均质或各向异性地基与均质各向同性地基相比较，其对地基竖向正应力?z的影响，不外乎二种情况：一种是发生应力集中现象[书58页图2-27(a)]，另一种则是发生应力扩散现象[书58页图2-27(b)]。
1、变形模量随深度而增大的非均质地基
在天然地基中，土层在自重应力作用下已压缩稳定，自重应力的分布随深度增大而增大，因而土的变形模量E0也常随地基深度增大而增大，在砂土中这种情况最明显。与通常假定的均质地基比较，沿荷载中心线下，前者的地基中附加应力?z将发生书58页图2-27中所示的应力集中现象。这种现象在现场测试和理论上都得到了证明。
2、各向异性地基
由于土层在生成过程中，各个时期沉积物成分上的变化，土层会出现水平薄交互层现象，这种层理构造对很多土来说都很明显，往往导致土层沿铅直方向的变形模量时，出现应力集中现象；当水平方向的变形模量小于铅直方向的变形模量时，出现应力扩散现象。
3、双层地基
天然形成的地基有两种情况，一种是岩层上覆盖着不太厚的可压缩土层，另一种则是上层坚硬、下层软弱的双层地基。前者将发生应力集中现象，而后者将发生应力扩散现象。
四、本章重点难点：
一、重点：
矩形和条形荷载面积下的附加应力计算。土的压缩性及其指标的确定。最终沉降量的计算。 熟练掌握土的自重应力计算，基底附加压力的计算。记住中心荷载作用下和偏心荷载作用下基底压力及基底附加压力的计算公式。运用角点法计算地基中附加应力。要求建立地基弹性体内应力扩散概念、掌握几种典型规则的分布荷载下附加应力计算、会利用学过知识求不规则荷载作用下的附加应力；要求记住几个主要公式、条形均布荷载下应力分布规律、非均质和各向异性地基对附加应力有何影响。
能够正确使用教材的图表、计算附加应力。了解地基中附加应力分布规律和载荷试验确定变形模量的方法。
二、难点：
矩形和条形荷载面积下的附加应力计算。土的压缩性及其指标的确定。最终沉降量的计算。 地基中附加应力分布规律和载荷试验确定变形模量的方法。 五、本章常见问题：
1、常见问题3-2 简述影响土中应力分布的因素。
答案：（1）非线性材料的影响，土体实际是非线性材料的影响，对竖向应力计算值有影响；
（2）成层地基的影响，天然土层的松密、软硬程度往往不相同，变形特性可能差别较大，如可压缩土层覆盖在刚性岩层上；
（3）变形模量随深度增大的影响；
（4）各向异性的影响，由于天然沉积土因沉积条件和应力状态不同，在水平方向和垂直方法的E就不同，土的各向异性也会影响土层中的附加应力分布。 2、常见问题3-4-1 “角点法”的含义？
答案： 利用矩形面积角点下的附加应力计算公式和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的方法称为角点法。
3、常见问题3-4-2 基底压力、基底附加压力的含义及它们之间的关系？
答案：基底压力：基础底面传给地基表面的压力。由于基底压力作用于基础与地基的接触面上故也称基底接触应力。
基底附加应力：由于指建筑物荷重是基底增加的压力称为基底附加应力。
它们之间的关系是：基底压力减去基础底面处原有的自重应力就是基底附加应力。 六、本章例题分析：
1、题型：简答题 题目：研究地基变形的目的是什么？
答案及分析： 建筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形，出现基础沉降。由于建筑物荷载差异和地基不均匀等原因，基础各部分的沉降或多或少总是不均匀的，使得上部结构之中相应地产生额外的应力和变形。基础不均匀沉降超过了一定的限度，将导致建筑物的开裂、歪斜甚至破坏，例如砖墙出现裂缝、吊车轮子出现卡轨或滑轨、高耸构筑物倾斜、机器转轴偏斜以及与建筑物连接管道断裂等等。因此，研究地基变形，对于保证建筑物的正常使用、经济和牢固，都具有很大的意义。 2、题型：计算题 题目：【例题3-1】某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图3-1中。试计算地面下深度为2.5m，5m和9m处的自重应力，并绘出分布图。 答案及分析：【解】 本例天然地面下第一层粉土厚6m，其中地下水位以上和以下的厚度分别为3.6m和2.4m；第二层为粉质粘土层。依次计算2．5m，3．6m、5m、6m、9m各深度的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一并列于例图3-1中
例图3-1
