换言之，对于一个存在于频率ω1前后的窄带信号，可以近似认为系统对于它有一个时延α。这个时延称为系统在ω＝ω1时的群时延。
显然，对于位于不同的频率上的窄带信号，其近似的时延α也不相同。这个群时延的公式显然应当是系统的相移函数在ω的处的斜率：τ(ω)=-d(≮H(jω))/dω
关于群时延的概念和定义，可以直接用上述公式表达。一般情况下ω不同，则该处的群时延τ(ω)也不同。可以理解为系统对于输入信号的不同频率分量进行不同的时移。
作为特殊情况，对于具有线性相移的系统≮H(jω)＝-(jωt0)-υ，τ(ω)=-d(≮H(jω))/dω＝t0是个常数，因此线性相移的系统的群时延是个恒定值，换言之线性相移系统是对整个输入信号进行相同的时移。
6-3:Time-domain properties of ideal frequency-selective fliters（理想频率选择滤波器的时域特性）
第三章介绍了频率选择滤波器。一个理想的连续时间低通滤波器的频率响应是： H(jω)=1，|ω|≤ωc；
H(jω)=0，|ω|>ωc。
而离散低通滤波器的理想模型的频率响应是： H(exp(jω))=1，|ω|≤ωc； H(exp(jω))=0，π≥|ω|>ωc。
该频域函数显然是以π为周期的周期函数。
用傅立叶反变换可以很容易求到，对理想低通滤波器的时域函数为：
h(t)=Sin(ωct)/πt；h[n]=Sin(ωc.n)/πn
这是一个无始无终的信号。显然，这样的非因果的单位冲激响应（即在t=0以前就有了非0的响应）在现实的LTI系统中是很难实现的。
6-4：Time-doman and frequency-domain aspects of nonideal filters（非理想滤波器的时域和频域特性讨论）
由于理想滤波器的难以实现，以及在现实中，对其有些性质是不必要的，因此我们往往采用一些非理想滤波器来完成这一任务的近似。
本节需要了解关于非理想滤波器的通带起伏（passband ripple）、阻带起伏（atopband ripple），通带边缘（passband edge）、阻带边缘（stopband edge）和过渡带（transition）的概念。 通带起伏δ1：滤波器频域图上，现实的通带相对于理想的通带值（1）能够允许的波动范围。换言之，若|H(jω)|在（1-δ1）到（1＋δ）范围内，可以认为此时为通带。
阻带起伏δ2：类似通带起伏，当|H(jω)|在0到δ2的范围内，可以认为此时为阻带。 通带边缘：通带的边界频率。 阻带边缘：阻带的边界频率。 过渡带：通带与阻带之间的部分。
本章其余部分不要求
第七章：
Sampling（采样）
本章的基本内容是对于一个连续时间信号，如果它的傅立叶变换的函数是一个带限函数，则可以通过在等时间间隔上采样的值，即样本（samples）来表示，并通过样本把信号完全恢
复。
7-1：Representation of a continuous-time signal by its samples：the sampling theorem（用信号样本表示连续时间信号：采样定理）
冲激串采样（impulse-train sampling）
采样的一种方法是：用一个等间隔的冲激串去乘连续时间信号x(t)。冲激串的大小为单位1，冲激串的间隔时间Ts称为采样周期（sampling period），该冲激串信号的基波频率ωs=2π/Ts称为采样频率(sampling frequency)。该冲激串函数称为采样函数(smapling function)p(t)。该方法称为冲激串采样。
易知p(t)的傅立叶变换P(jω)为冲激串。冲激串大小为2π/Ts，间隔为ωs。
由乘法性质，时域相乘对应频域卷积，则信号样本xp(t)=x(t).p(t)的傅立叶变换实际上是把X(jω)在频域上进行周期拓展（复制，位移，粘贴^_^）。拓展的周期就是ωs
显然，设x(t)的频带宽度（即X(jω)有非0值的最大ω）为ωM，则当ωs≤2ωM时，X(jω)进行周期拓展后的各部分会发生相互混叠；而在ωs>2ωM的时候，这些部分不会混叠（因为它们的频带宽度从中心往左右各自只有ωM，而周期拓展的间隔ωs>2ωM）。这时候，我们可以把xp(t)通过一个低通滤波器，从而恢复原来的信号。该低通滤波器增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs-ωM。 这就是采样定理。描述如下： 设x(t)为一带限信号，|ω|>ωM时有|X(jω)|=0。现在以ωs为采样频率对其采样，如果ωs>2ωM则x(t)可以唯一地由采样结果xp(t)确定。 我们可以采取如下方式恢复x(t)：将xp(t)输入一个增益为Ts，截止频率大于ωM而小于ωs-ωM德低通滤波器，所得输出就是原信号x(t)。
因此，在采样中，采样频率ωs应大于（而不是大于等于！）2ωM。该频率2ωM称为耐奎斯特率（Nyquist rate）。而耐奎斯特率的一半ωM则称为耐奎斯特频率（Nyquist frequency）。
0阶保持采样（Samping with a Zero-order hold）
这里介绍的是鉴于产生一个冲激串函数的难度较大，而采用另一系统，使得等效于原信号x(t)进行冲激采样后通过系统h0(t)的一种采样——恢复模式，自己看书了解。
7-2：不要求
7_3：The effect of undersampling：aliasing（欠采样的结果：混叠）
了解：当采样频率ωs≤2ωM时，在频域上会发生混叠。要求作图了解混叠发生的原因和后果。
从时域上，欠采样造成的混叠，实质上是对于样本选取之后，两个样本的差默认为最小值的结果。例如，如果在两个样本点之间（即一段Ts的时间），信号的最大频率分量经过了0.7个周期（即相位角1.4π），则在恢复时等效于把该分量在两个样本点的相位角默认为逆向0.3个周期（即相位角-0.6π），由此造成信号恢复的失真。
本章其他内容：不要求
第八章：
Communication systems(通信系统)
通信的基本步骤是：
一个载有信息的信号（称为调制信号modulating signal）x(t)嵌入另一个信号c(t)（称为载波信号carrier signal）产生一个新信号y(t)（称为已调信号modulated signal）。这一步称为调制（modulation）
把已调信号y(t)发送出去，通过传输媒介到接受端。
接受端对已调信号y(t)进行处理，从中把载有信息的信号x(t)提取出来。这一步称为解调（demodulation）
很重要的一类调制是用x(t)对c(t)的幅度进行调制，即y(t)=x(t).c(t)。称为幅度调制（amplitude modulation），简称AM。
8-1：Complex exponential and sinusoidal amplitude modulation（复指数与正弦幅度调制）
复指数载波的幅度调制（amplitude modulation with a complex exponential carrier）
当载波信号c(t)=exp(j(ωct+θc)),称为复指数幅度调制。Ωc称为载波频率（carrier frequency）。为方便令θc＝0。此时有： y(t)=x(t).c(t)=x(t).exp(jωct) 从频域上，C(jω)=2πδ(ω-ωc)
由调制性质，时域相乘对应频域卷积，因此
Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=X(j(ω-ωc))
换言之，y(t)的傅立叶变换Y(jω)等于把X(jω)在频域上进行ωc的频移。
对y(t)进行解调以恢复x(t)的方法很简单，只要将y(t)再乘以exp(－jωct)即可： y(t)。exp(jωct)＝x（t）.exp(jωct).exp(-jωct)=x(t)
显然从频域上，这等效于把X(jω)先正向移动ωc，再移动-ωc，最后还是得到了X(jω)。该调制解调方法对ωc和x(t)的带宽ωM关系没有什么要求。
正弦载波的幅度调制(Amplitude modulation with a sinusoidal carrier) 很多时候采用的是正弦波调制，c(t)=cosωct。 此时：y(t)=x(t).c(t)=x(t).cosωct 而从频域上，由于
C(jω)=π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))
有：Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=(X(j(ω-ωc))+X(j(ω+ωc)))/2
显然，这相当于把X(jω)的图象减半后分别向左和向右发生了|ωc|的频移。
如果X(jω)的带宽ωM<ωc，则频移后的两个分量不会发生混叠，可能从y(t)中把x(t)恢复出来。否则，如果ωM≥ωc，则频移后的两个分量会发生混叠，从而不可能恢复。因此正弦调幅对调制信号x(t)的带宽和载波频率之间的关系提出了要求。
8-2：Demodulation for sinusoidal AM（正弦调幅的解调）
同步解调（Synchronous demodulatuon）
正弦调幅的解调是：先把已调信号y(t)再乘以一个同步正弦信号cosωct，然后通过一个低通滤波器，该滤波器增益为2，截止频率大于ωM而小于2ωc-ωM。这样就可以恢复出信号。
从时域上显然有：
y(t). cosωct=x(t).cosωct.cosωct=(1/2).x(t)+（1/2）.x(t).cos2ωct
将这样一个信号通过一个增益为2的低通滤波器，则高频分量x(t).cos2ωct被过滤掉，而低频分量x(t)/2则得到了2的增益，从而恢复出x(t)。 从频域上讲，则解调相当于把已经减半后两边分开的信号图形再次重复，减办后分别向左右进行ωc的频移。造成结果是：
W(jω)=Y(jω)*( π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)
= (X(j(ω-ωc))+X(j(ω+ωc)))(1/2)* ( π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π) =(1/2)X(jω)+(1/4)X(jω-j2ωc)+(1/4)X(jω+j2ωc)
即原先左移信号的右半部和右移信号的左半部在中央重合，其余两个半部更加分离。这时通过低通滤波器，可以把左右两边过滤掉而保留中间的X(jω)，从而得以恢复。
该方法要求的是载波信号c(t)和后来输入的解调正弦信号必须严格同步，否则会因为相差造成失真。
另一种解调方法称为非同步解调(Asynchronous demodulation)，则是通过包络检测的方法来恢复信号x(t)的。
本章其他内容：不要求
第九章：
The Laplace transform（拉普拉斯变换）
拉普拉斯变换也是一种频域分析。作为傅立叶变换的一种扩充，比傅立叶变换具有更广泛的应用。
9-1：The Laplace transform（拉普拉斯变换） 拉普拉斯变换的引入：
前面已经讲过，LTI系统对于指数信号exp(st)有响应为： exp(st)→H(s).exp(st)
其中，H(s)由h(t)确定。具体公式为P655 9-2。
显然这个式子一般只对某些s值成立。而对另一些s值，9-2式不收敛。
这里，称9－2式为h(t)的拉普拉斯变换。使得9-2收敛的s值称为H(s)的收敛域(region of convergence),简称ROC。
更一般地，对任何信号连续x(t)，由公式P655公式9－3确认的函数X(s)称为其拉普拉斯变换。二者的变换关系记做： x(t)←L→X(s)。
显然对于某一个确定的x(t)，只有在一定范围内的s才能使得9－3收敛成立。这个s的范围称为收敛域。
我们可以看出，拉普拉斯变换其实是傅立叶变换的扩充。
令s=σ+jω。则傅立叶变换可以看作σ＝0（即s=jω）情况下的拉普拉斯变换； 而信号x(t)的拉普拉斯变换可以看作x(t).exp(-σt)的傅立叶变换。
从例题9－1，9－2可以看出，有时候两个完全不同的信号x1(t)和x2(t)，他们的拉普拉斯变换的表达式X1(s)和X2(s)可能会从形式上完全相同，但它们的收敛域会不同。
为了更好分析复指数s的取值范围，我们构建一个复平面称为s域。水平轴称为σ轴，垂直
