当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t g′(t) g(t) (0，1) ＋ 1 0 极大值1－m (1，2) － ∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m，h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立，即g(t)<0在(0，2)内恒成立，
即1－m<0，解得m>1，所以m的取值范围为(1，＋∞)．
1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1，3)．
(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；
(2)当x∈[2，3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值． 解析 (1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a<0)，
∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数，在(1，3)上f′(x)>0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．
因此f(x)在x0＝1处取得极小值－4，在x＝3处取得极大值． a＋b＋c＝－4，??
∴?f′（1）＝3a＋2b＋c＝0， ??f′（3）＝27a＋6b＋c＝0.解得a＝－1，b＝6，c＝－9. ∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.
∴f(x)在x＝3处取得极大值f(3)＝0.
(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3)，g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m. ①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；
②当m<2时，g(x)在[2，3]上是递减的，g(x)max＝g(2)＝12m－21； ③当m>3时，g(x)在[2，3]上是递增的，g(x)max＝g(3)＝18m－36.
因此g(x)max
12m－21 （m<2），??
＝?3m－9 （2≤m≤3）， ??18m－36 （m>3）.
2
1
2.已知函数f(x)＝ax2－blnx＋在x＝x0处取得极小值1＋ln2，其导函数f′(x)的图像如图所
2示．求x0，a，b的值．
1
解析 由图可知x0＝.
2
1
∴当x＝时，f(x)极小值为1＋ln2.
2111
∴a－bln＋＝1＋ln2. 422∴a＋4bln2＝2＋4ln2.①
b11
又∵f′(x)＝2ax－，∴f()＝2a×－2b＝0.
x22∴a＝2b.②
由①②解得b＝1，a＝2.
