?A?z?A?A?h?A??? ?z?s?sz?h?s?shz?z0又对水深与水位的关系式h?或z?z0?hcos?求偏导，并考虑??6°，
cos?cos??1，可得
?h1??z?z0??z??i ?????scos???s?s??s?z0?A?A式中??i为底坡。另外，对于同一断面有dz?dh，以及??B，则得
?s?z?h?A?A??Bi ?sz?sh证毕。
10-10解：
首先从数学上说明最大值出现的性质，再讨论各种水力要素最大值的出现顺序。 1． 从数学上说明某函数A出现最大值的性质 (1) 从时间方面分析。对某断面，设t时刻某函数值为A1，t??t时刻某函数值为A2，则有函数A对时间的偏导数为
?AA2?A1。 ??t?t?A?0； ?t?A当已出现最大值时，最高点已过，函数随时间减少，有A1?A2，故?0；
?t?A正处在最大值时，函数随时间不变化，有A1?A2，故?0 。
?t还未出现最大值时，最高点未到，函数随时间增加，有A1?A2，故
(2) 从位置方面分析。某函数A最大值的出现是从上游到下游依次出现的。假定最大值发生在断面s0处，在以某断面s0为中心的?领域内，即在s0???s?s0??范围内，必有
???A????0 。下面分两种情况进行说明。在说明之前对此偏微分作下列变形 ?s??t????A????A???A?s?2???A?s?1 ???????s??t??t??s??t还未出现函数最大值的地方，在此最大值处的下游，函数曲线的斜率小于零，并且随
时间的增加，函数的最大值点处将向下游移动，还未出现最大值处的函数值将逼近最大值点，函数曲线的斜率的绝对值将趋近于零，即有?A?s??1???A?s?2，可得
???A????0 ； ?s??t?已出现过函数最大值的地方，在此最大值处的上游，函数曲线的斜率大于零，并且随时间的增加，函数的最大值点处将向下游移动，出现过最大值处的函数值将远离最大值点，函数曲线的斜率将由趋近于零逐渐增加，即有?A?s2． 分析各种水力要素最大值的出现顺序。
??1???A?s?2，可得
???A????0 。 ?s??t??Jp???z????z??z????????。如果水位最关于Jpmax与zmax。由于Jp??，而?t?t??s??s??t??s?Jp???z??z?????0，说明Jp的最大大值未出现，按照前述数学推论，有?0，这时?t?s??t??t值已出现过。也就是说，Jpmax出现在zmax之前。
?zv21??v?v?????v?，令关于vmax与zmax、Jpmax。由z、v表示的运动方程??sC2Rg??t?s??v?v?v?0，即忽略惯性力影响，可得v2?C2RJp?C2hJp ，并微分得 ?t?s?Jp?v?h22v?Ch?C2Jp ?t?t?t?h?z当?0时，同时有?0，也就是水位值正出现最大值时，由前知水面坡度Jpmax已出?t?t?Jp?v?v?0，现，即由上式可得?0，也就是说vmax出现在zmax之前。另外，当?0时，?t?t?t?h即正在出现vmax时，zmax还未出现，hmax也未出现，即有?0，由上式可知，应有
?t?Jp?0，也就是说Jpmax在说vmax之前出现。 ?t?Q?v?A关于Qmax与zmax、vmax。由于Q?Av，对其求偏导，有。当已知?A?v?t?t?t?A水位zmax正出现时，面积A也应处于最大值，即?0 。此时如果流速vmax已出现，亦
?t?v?Q?v即?0，则可得?0，也就是说Qmax出现在zmax之前。另外，当?0时，即正在?t?t?t?A?Q出现vmax时，如果有?0，也就是zmax还未出现，可有?0，也就是Qmax还未出现，
?t?t即vmax在说Qmax之前出现。
由上述讨论可知，所讨论的这些水力要素最大值出现的先后顺序是：Jpmax、vmax、
Qmax、zmax 。
10-11 解：
可使用例10-5所给出的计算程序进行计算，计算时需将水深h折算成水位z进行计算，上下游边界条件需改写。下表给出了用特征线法计算的部分成果
t h1 Q1 h2 Q2 h3 Q3 h4 Q4 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300
330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780 810 840 870 900 t
h5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630
Q5
h6
6
h7
Q7
h8
8
Q
Q
660 690 720 750 780 810 840 870 900
t h9 Q9 h10 Q10 h11 Q11
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780 810 840 870 900
使用直接差分法的程序也可进行计算，上下游边界的处理与特征线法类拟，计算成果与上述成果类拟。
