模块综合检测(B)
(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1＋2i1.＝( ) ?1－i?211
A．－1－i B．－1＋i 2211
C．1＋i D．1－i 22
1＋2i1＋2i1＋2i?1＋2i?i1
解析：选B.＝＝＝＝－1＋i. 2222?1－i?1－2i＋i－2i
2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除 C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除
解析：选B.因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
2
2222222n?2n＋1?3．用数学归纳法证明1＋2＋?＋(n－1)＋n＋(n－1)＋?＋2＋1＝时，从n
3
＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )
A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 1
D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1] 3
解析：选B.n＝k时，左边＝12＋22＋?＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋?＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋?＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋?＋22＋12，
∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.
1
4．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
ln?x＋1?－x
解析：选B.当x＝1时，y＝
1
<0，排除A；
ln 2－1
当x＝0时，y不存在，排除D；
当x从负方向无限趋近0时，y趋向－∞，排除C，选B.
a1a2
5．设xi，ai(i＝1,2,3)均为正实数，甲、乙两位同学由命题：“若x1＋x2＝1，则＋≤(a1
x1x2
＋a2)2”分别推理得出了新命题：
2a1a22
甲：“若x1＋x2＝1，则＋≤(a1＋a2)2”；
x1x2
a1a2a3
乙：“若x1＋x2＋x3＝1，则＋＋≤(a1＋a2＋a3)2”．
x1x2x3
他们所用的推理方法是( ) A．甲、乙都用演绎推理 B．甲、乙都用类比推理
C．甲用演绎推理，乙用类比推理 D．甲用归纳推理，乙用类比推理
解析：选B.由甲、乙都是特殊到特殊的猜想，故选B.
6．把正整数按下图所示的规律排序，则从2 011到2 013的箭头方向依次为( )
解析：选B.由图形的变化趋势可知，箭头的变化方向以4为周期，2 011÷4＝502×4＋3,2 012÷4＝502×4＋4，2 013＝502×4＋5，故2 011→2 013的箭头方向同3→5的箭头方向．
7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，?，则72 011的末两位数字为( ) A．01 B．43 C．07 D．49
1234
解析：选B.因为7＝7,7＝49,7＝343,7＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，?，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又因为2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B.
8．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D.当x＜－2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，得f′(x)＞0； 当－2＜x＜1时，y＝(1－x)f′(x)＜0.得f′(x)＜0； 当1＜x＜2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)＜0； 当x>2时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
∴函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．
9. 如图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂
直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0＜x＜1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为( )
解析：选A.“分段”表示函数y＝V(x)，根据解析式确定图象．
1
当0＜x＜时，截面为五边形，如图所示．
2
由SC⊥平面QEPMN，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h＝2，2
取MN的中点O，
易推出OE∥SA，MP∥SA，NQ∥SA，则SQ＝SP＝AM＝AN＝2x，四边形OEQN和OEPM为全等的直角梯形，
112
则VS-AM·AN·h＝x2， AMN＝×·323
此时V(x)＝VS-ABCD－VS-AMN－VS-EQNMP
221
＝－x2－×(22x－32x2)x 633
12
0＜x＜?， ＝2x3－2x2＋?2?6?非一次函数形式，排除选项C，D.
2
当E为SC中点时，截面为三角形EDB，且S△EDB＝.
4
S截面1－x21
当＜x＜1时，＝?S截面＝2(1－x)2. 212
24
2
此时V(x)＝(1－x)3?V′＝－2(1－x)2.
3
当x→1时，V′→0，则说明V(x)减小越来越慢，排除选项B.
10．已知函数f(x)＝ex＋x，对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形； ②△ABC可能是直角三角形； ③△ABC可能是等腰三角形； ④△ABC不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
xx
解析：选B.∵f(x)＝e＋x，f′(x)＝e＋1，
显然f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 设A，B，C三点的横坐标分别为x－d，x，x＋d(d>0)，
－＋
则A，B，C三点的坐标分别为(x－d，exd＋x－d)，(x，ex＋x)，(x＋d，exd＋x＋d)．
BA＝(－d，exd－ex－d)，BC＝(d，exd－ex＋d)．
－
＋
→→∴BA·BC＝－d2＋(exd－ex－d)(exd－ex＋d)
－－＋＋
＝－d2＋e2x－e2xd＋dexd－e2xd＋e2x－dex－dexd＋dex－d2
－＋－＋
＝－2d2＋2e2x－e2xd－e2xd＋dexd－dexd
－－＋
＝－2d2＋e2x[2－(ed＋ed)]＋d(exd－exd)． －－－－
∵ed>0，ed>0，∴ed＋ed≥2，当且仅当ed＝ed时取等号，此时d＝0.又d>0，故ed＋ed>2.
∴e2x[2－(e－d＋ed)]<0.
∵h(x)＝ex在(－∞，＋∞)上单调递增，x－d
－＋
∴d(exd－exd)<0.
－
＋
→→又∵－2d2<0，∴BA·BC<0，即∠ABC为钝角， ∴△ABC为钝角三角形． 故①正确，排除②.
∵|BA|＝d2＋?exd－ex－d?2，|BC|＝d2＋?exd－ex＋d?2，exd－ex－d －＋－ ＋ →→→→→∴|BA|≠|BC|，∴△ABC不可能是等腰三角形，故④正确，排除③.综上，①④正确． 二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上) － 11．用数学归纳法证明：当x∈N*,1＋2＋22＋23＋?＋25n1是31的倍数时，当n＝1时，原式为________．从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________． ×－ 解析：当n＝1时，1＋2＋22＋?＋2511＝1＋2＋22＋23＋24； ×＋－×－＋＋ 1＋2＋22＋?＋25(k1)1－(1＋2＋22＋?＋25k1)＝25k＋25k1＋?＋25k4. ＋＋ 答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k1＋?＋25k4 12．已知x，y∈(0，＋∞)，当x2＋y2＝________时有x1－y2＋y 1－x2＝1. 解析：要使x1－y2＋y1－x2＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y1－x2，即2y1－x2＝1－x2＋y2.只需使(1－x2－y)2＝0，即1－x2＝y， ∴x2＋y2＝1. 答案：1 13．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， →
