2013-2014学年第一学期《线性代数B》期终考试试卷(A卷)--1
同济大学课程考核试卷（A卷）
2013—2014学年第一学期
命题教师签名： 审核教师签名：
课号：122010 课名：线性代数Ｂ 考试考查：考试
此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷
年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 （注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空与单项选择题（每小题3分，共24分）
1、 设三阶矩阵A???1,?2,?3?，B??20?1?13?2?20?3,14?1??2,14?1?，如果|A|?2， 则|B|? .
2、 设?,?是三维列向量，?121???T???242?，则??T? .
??363???3、 设A2?3A?E?0,则(A?E)?1= .
4、 设A为n阶矩阵， A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵. 若
|A?2E|?|A?3E|?|A?E|?0，且|A|?1，则|A*|? . 5、 设A为4阶对称矩阵, 且A4?2A3?O，若A的秩为3，则A相似于（ ）
??2?A．????2?? B． ??2?
???2?? ??2????2????2??0??????2?C. ??2???2??
D. ?0???? ?0??0???0??0??6、 已知AB?C，且|B|?0，则下列说法正确的是 ： A. 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C. 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D. 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
7、 二次型f?x2?2y2?4z2?2xy?4xz是 ：
A.正定二次型 B.负定二次型 C.非正定也非负定二次型 D.无法判断 8、 设?1,?2,...,?s为n维列向量组，A为m?n矩阵,下列选项正确的是 A.若?1,?2,...,?s线性相关,则A?1,A?2,...,A?s线性相关
B.若?1,?2,...,?s线性相关,则A?1,A?2,...,A?s线性无关
C.若?1,?2,...,?s线性无关,则A?1,A?2,...,A?s线性相关 D.若?1,?2,...,?s线性无关,则A?1,A?2,...,A?s线性无关
?131二、（10分）解矩阵方程: 设A????302??， AX?3X?A?O,求矩阵X.
??11?2??
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?1??2??4??3??0???????????21521三、（12分）已知向量组：?1???，?2???，?3???，?4???，?5???，求
?3???2??4??1??0???????????1?112??????????2?该向量组的秩及一个最大线性无关组，并将不属于最大线性无关组的向量用该最大线性无关组
五、（15分）求一个正交变换x?Py,把二次型f?x12?x32?2x1x2?2x2x3化为标准形，并写出标准形． 线性表示.
?(??1)x1?x2?x3（13分）问当?为何值时, 线性方程组??x1?(??1)x?2?x3?x1?x2?(??1)x3穷多解? 并在有无穷多解时求出其通解.
?3 ?3? 有唯一解、无解、有无 ?0
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六、（10分）设M2(?)为所有二阶方阵按照通常矩阵的加法和数乘运算构成的线性空间. 给定可逆矩阵P?M2(?)，在M2(?)上定义如下相似变换：对任意A?M2(?),T(A)?P?1AP. (1) 证明：映射T是M2(?)上的一个线性变换；
?11?(2）若P???，求出线性变换T在基
七、证明题:
(1)（6分）设A是n?m矩阵, B是m?n矩阵, E是n阶单位矩阵. 若AB?E，证明矩阵B的列向量组线性无关. ?12? E?111???0
0?0?，?E12???0?01?0?，?E21???0?10?0?，?E22???0?00?1?下的矩阵．
?
(2)（10分)设矩阵A???T?2??T,其中?,?是两个互相正交的三维单位列向量. 证明：矩
?1?阵A能够相似于对角矩阵?=??2??. ??0??
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