课时作业(十五) [第15讲 定积分与微积分基本定理]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身 1．[2011·郑州一中模拟] 已知f(x)为偶函数，且 66
?f(x)dx＝8，则?－6f(x)dx＝( )
?0
?
A．0 B．4 C．8 D．16
x，x∈[0，1]，??
2．[2011·福州模拟] 设f(x)＝?1(其中e为自然对数的底数)，则?e
?0
??x，x∈?1，e]f(x)dx的值为( )
42A. B．2 C．1 D. 333．[2011·临沂模拟] 若a＝?2x2dx，b＝?2x3dx，c＝?2sinxdx，则a、b、c的大小关系
2
?0?0?0
是( )
A．a 4．如图K15－1，阴影部分的面积是( ) 图K15－1 3235 A．23 B．2－3 C. D. 33 能力提升 5．设函数f(x)＝ax2＋1，若?1f(x)dx＝2，则a＝( ) ?0 A．1 B．2 C．3 D．4 ππ 6．[2011·湖南卷] 由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面 33 积为( ) 13 A. B．1 C. D.3 22 7．一物体以v＝9.8t＋6.5(单位：m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4 s内经过的路程是( ) A．260 m B．258 m C．259 m D．261.2 m 8．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为( ) A．0.28 J B．0.12 J C．0.26 J D．0.18 J 9．[2011·洛阳模拟] 设函数y＝f(x)的定义域为R＋，若对于给定的正数K，定义函数 ??K，f?x?≤K，11fK(x)＝?则当函数f(x)＝，K＝1时，定积分?2fK(x)dx的值为________． x?4?f?x?，f?x?>K，? π 10．[2011·枣庄模拟] ∫0(sinx＋acosx)dx＝2，则实数a＝________. 2 1 11．由抛物线y2＝2x与直线x＝及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体 2 积为________． 12．(13分)如图K15－2所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝t(0 (1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)； (2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值． 图K15－2 难点突破 13．(12分)已知点P在曲线y＝x2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P作曲线y＝x2 的切线PQ(Q为切点)． (1)求切线PQ的方程； (2)求证：由上述切线与y＝x2所围成图形的面积S与a无关． 课时作业(十五) 【基础热身】 1．D [解析] ?6－6f(x)dx＝2?6f(x)dx＝2×8＝16. ? 12 2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫e即∫e0f(x)dx可以分为两段，0f(x)dx＝?xdx ?0 113 ＋∫e1dx＝x ?＋lnx?＝1＋1＝4，所以选A. ?13x3?03 2 13?2814?222232?3．D [解析] a＝?xdx＝x?＝，b＝?xdx＝x?＝4，c＝?sinxdx＝－cosx?303400?0?0?0 1e ?0 ＝1－cos2<2， ∴c 1323x－x3－x2??＝. 4．C [解析] ?1－3(3－x－2x)dx＝?3???－33? 2 1 【能力提升】 ax3?1a 5．C [解析] ?f(x)dx＝?(ax＋1)dx＝＋x?＝＋1＝2，解得a＝3. 330?? 10 10 2 ππ 6．D [解析] 根据定积分的相关知识可得到：由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝ 33 cosx所围成的封闭图形的面积为： ππππππ S＝∫－cosx dx＝sinx?－＝sin－sin?－?＝3， 33?33?3?3 故选D. 7．D [解析] ?8(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t＋6.5t)??＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝ 2 84 ?4 313.6＋52－78.4－26＝261.2. 0.06 8．D [解析] 由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，W＝∫0100xdx＝0.18J. 1 1，≤1，x111 9．2ln2＋1 [解析] 由题设f1(x)＝于是定积分?2f1(x)dx＝?1dx＋?2 ?4?4x11?1 ，>1，xx ??? 1 1dx＝lnx ?1＋x ?2 ?4?1＝2ln2＋1. π 10．1 [解析] ∫0(sinx＋acosx)dx＝(asinx－cosx)错误!＝错误!－asin0＋cos0＝a＋1＝ 2 2，∴a＝1. 1π 0，?， 11. [解析] 因为y2＝2x，所以[f(x)]2＝2x，x∈??2?4 1π11 所以V＝π∫0[f(x)]2dx＝π∫02xdx＝πx2??20＝4. 22 ?y＝x2，?x＝0，?x＝a，??? ??12．[解答] (1)由?解得或 22 ???y＝－x＋2ax，y＝0y＝a.??? ∴O(0,0)，A(a，a2)．又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)， 11 ∴S＝?t(－x2＋2ax)dx－t×t2＋(－t2＋2at－t2)×(a－t) 22? 0 1132 －x3＋ax2??＝?－t＋(－t＋at)×(a－t) ?3??02111 ＝－t3＋at2－t3＋t3－2at2＋a2t＝t3－at2＋a2t. 326 t 1 故S＝f(t)＝t3－at2＋a2t(0 61 (2)f′(t)＝t2－2at＋a2， 2 1 令f′(t)＝0，即t2－2at＋a2＝0， 2 解得t＝(2－2)a或t＝(2＋2)a. ∵0 2＋21 ①若(2－2)a≥1，即a≥＝， 22－2 1 ∵0 6 2＋2 ②若(2－2)a<1，即1 2 (i)当0 ∴f(t)在区间(0，(2－2)a)上单调递增，在区间[(2－2)a，1]上单调递减．∴f(t)的最大 22－231 值是f((2－2)a)＝[(2－2)a]3－a[(2－2)a]2＋a2(2－2)a＝a. 63 1?2＋2? a－a＋?a≥??，6??2?＝?22－2?2＋2? a??.1 2 3 综上所述f(t)max 【难点突破】 13．[解答] (1)设点P的坐标为(a，a2－1)，又设切点Q的坐标为(x，x2)． a2－1－x2a2－1－x2 则kPQ＝，由y′＝2x知＝2x， a－xa－x 解得x＝a＋1或x＝a－1. 所以所求的切线方程为2(a＋1)x－y－(a＋1)2＝0或2(a－1)x－y－(a－1)2＝0. 2＋122 (2)证明：S＝?aa－1[x2－2(a－1)x＋(a－1)2]dx＋∫a[x－2(a＋1)x＋(a＋1)]dx＝. a 3? 2 故所围成的图形面积S＝，此为与a无关的一个常数． 3
