大兴安岭实验中学2015-2016高二上学期期末考试
数学试题（理科）
考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
π
1. 命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )
4π
A．若α≠，则tan α≠1
4π
C．若tan α≠1，则α≠ 4
π
B．若α＝，则tan α ≠1
4π
D．若tan α≠1，则α＝
4
x2y2
2. 已知双曲线2－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
a5
314A.
14
32B.
4
3
C. 2
4D. 3
3．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( ) A．α∥β
4. 设函数g(x)＝x(x－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为 ( ) 23
A．－1 B．0 C．－
9
D.3 3
2
B．α、β相交但不垂直 C．α⊥β D．以上均不正确
5．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1 和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是 ( ) A．60° C．30°
6．从抛物线y＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛 物线的焦点为F，则△MPF的面积为 ( ) A．5
B．10 C．20
D.15
2
B．45°
D．90°
7．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( )．
11A． B．－e C. e D．－ ee
x2y2
8．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐
ab标恰为c，则椭圆的离心率为( ) 2－2A.
2
22－1 B. C.3－1
2
D.2－1
1312
9．若函数f(x)＝x－ax＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋
32∞)内为增函数，则实数a的取值范围是 ( ) A．a≤2
B．5≤a≤7 C．4≤a≤6 D．a≤5或a≥7
→→2
10．已知椭圆＋y＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2
4＝0，则点M到y轴的距离为 ( ) 23A.
3
26B.
3
C.3
3
D.3
x2
11．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( ) A.2
2
B.
15 5
C.
6
4
D.6 3
12．f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋x·f′(x)<0，且f(－4)＝0 则不等式xf(x)>0的解集为( ) A．(－4,0)∪(4，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,4) D．(－∞，－4)∪(0,4)
C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
二、填空题:（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上）
13．命题“?x＞0，x＋x＞0”的否定是________． 14. 曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
15.如果方程x＋ky＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 __________．
16．已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．
三、解答题: （本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）求下列函数的导数：
π??211?x2?(1)y＝e·ln x；(2) y＝x?x＋＋3?；(3)y＝sin?2x＋?；(4)y＝ln(2x＋5)．
xx?3???18.（12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1；
2
2
2
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
19. (12分) 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x)．
2
(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝时y＝f(x)有极值，求函数f(x)
3的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．
1
20.（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
2(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q—BP—C的余弦值．
20题
图 18题图
?3?21．(12分) 已知椭圆C经过点A?1，?，两个焦点为(－1,0)、(1,0)． ?2?(1)求椭圆C的方程；
(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
22．（12分）设函数f(x)＝x＋ax＋2x＋b(x∈R)，其中a，b∈R. 10
(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；
3
(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；
(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．
4
3
2
3
2
高二上学期期末考试 数学试题答案（理科）
一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的) 题号 选项 C C B C B B A D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 11 C 12 D 二、填空题:（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上）
13. ?x0＞0，x0＋x0≤0 14. 2x-y+1=0 15. (0,1) 16. －37
三、解答题: （本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）
1x1xxx解 (1)y′＝(e·ln x)′＝eln x＋e·＝e(ln x＋)．
2
xx1232
(2)∵y＝x＋1＋2，∴y′＝3x－3.
xxπ2
(3)设y＝u，u＝sin v，v＝2x＋，则
3
y′x＝y′u·u′v·v′x＝4sin?2x＋?·cos?2x＋?＝2sin?4x＋?.
3?3?3????
(4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x， 因此y′＝18．(12分)
→→→
(1)证明 以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
12·(2x＋5)′＝. 2x＋52x＋5
?
π??
π??
2π???B(a,0,1)，
设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E?，1，0?， 1
?2?
→→?a→?a?→?故AD1＝(0,1,1)，B1E＝?－，1，－1?，AB1＝(a,0,1)，AE＝?，1，0?.
?2??2?
a
