立体几何中的共点、共线、共面问题
一、共线问题
例1. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：
(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；
(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).
例2. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.
例3. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。
二、共面问题
例4. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.
例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点. 求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内
例6. 已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.
例7. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足
AMCN＝＝MBNBAQCP＝＝k. QDPD(1)求证：M、N、P、Q共面.
(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)
三、共点问题
例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.
1、(1)证明：∵AA1∩BB1＝O, ∴AA1、BB1确定平面BAO，
∵A、A1、B、B1都在平面ABO内， ∴AB?平面ABO；A1B1?平面ABO.
同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.
(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上. 2证明：如图，设AB∩A1B1＝P； AC∩A1C1＝R；
∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.
∵ BC?面ABC；B1C1?面A1B1C1， 且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR, 即 P、R、Q在同一直线上.
3解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点 ∴过A、B、C有一个平面? 又?AB???P,且AB??
?点P既在?内又在?内,设????l,则p?l.
同理可证:Q?l,R?l
?P,Q,R三点共线.4解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直
线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合. 证明 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α. ∵A∈a,a?α，∴A∈α,同理B∈a.
又∵A∈m，B∈m,∴m?α.同理可证n?α.
∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证m?β. ∵平面α、β都经过相交直线b、m,
∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面. 5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内. 证明：图①中，l1∩l2＝P， ∴ l1,l2确定平面α.
又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α. 故 l3?α. 同理 l4?α.
∴ l1,l2,l3,l4共面.
图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面. 所以结论成立.
6、证明 如图，连结MN、NR，则MN∥l1,NR∥l2，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l1∥l2与条件矛盾).∴ MN、NR可确定平面β，连结B1C2，取其中点S.连RS、ST，则RS∥l2，又RN∥l2，∴ N、R、S三点共线.即有S∈β，又ST∥l1，MN∥l1，∴MN∥ST，又S∈β，∴ ST?β. ∴ M、N、R、T四点共面. 7解析：(1)∵
AMAQ＝＝k MBQDAMk＝
AM?MBk?1∴ MQ∥BD，且
∴
AMkMQ＝＝
ABk?1BDkBD k?1∴ MQ＝
又
CNCP＝＝k NBPDCNk＝
CN?NBk?1∴ PN∥BD，且
∴
NPCNkk＝＝从而NP＝BD BDCBk?1k?1∴ MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面. (2)∵
1BN1BM＝，＝
NCkkMA∴
BN1BMBM1＝＝,＝ NCkBM?MAk?1MA∴ MN∥AC，又NP∥BD.
∴ MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.
