第5课 平面基本性质与空间两直线的位置关系
一、知识回顾
1．点线面及其关系的符号表示（如图）
1点用 大写字母 表示； 点E ○
FA E l D
线用 小写字母 或 两个大写字母 表示； 直线l 直线EF
2平面的画法：一般地水平放置的平面通常画成 一内角为45度，○
B ? C 一边长度是另一边2倍的平行四边形 . 平面的表示：右图所示平面可以表示为2．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理1：线上两点在面内，线在面内
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这
个公共点的一条直线. 公理2：两个平面有一个公共点，必有一条过该点的交线
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：不共线的三点确定一个平面
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论1：线及线外一点确定一个平面
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面 三个公理的用途：
1公理1是 判定线在面内 的依据； ○
2公理2是 判定面面相交，确定两面交线 的依据；○3公理3是 确定一个平面 的依据. ○
平面?或平面ABCD.
3．空间内两直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数
相交 平行 异面 共面 共面 不同在任一平面 有且只有一个 没有 没有 相交 在同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线 定义 在同一平面内，没有公共点的两条直线 判定 平行 公理4 平行于同一条直线的两直线平行 4．空间两直线 等角定理
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 判定 判定定理 “两在两不在” 异面 异面直线所成的角 平移至相交
异面直线的公垂线 与两异面两直线均垂直且相交的直线
5．一些常用结论
1判定两条直线平行的方法： 定义法，公理4，中位线模型，平行四边形模型 ； ○
2等角定理：○如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角 相等；
（平行且方向相反，那么这两个角 相等 ；平行且一同向一方向，那么这两个角 互补 ；） 3异面直线所成角的范围是○； ?0?,90???4异面直线所成角为90?时，称两异面直线 垂直 .由此： 垂直未必相交 . ○
二、例题分析
1．判断下列命题是否正确
1一条直线上有一个点在平面内，则这条直线上所有的点在这平面内（ × ） ○
2若线段AB??，则线段AB延长线上的任何一点必在平面?内（ √ ） ○
3若三直线a, b, c，满足a与b异面，b与c异面，则a与c也异面（ × ） ○
4过直线外一点可作无数条直线与已知直线平行（ × ） ○
5过直线外一点可作无数条直线与已知直线异面（ √ ） ○
6过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直（ × ） ○
2．长方体ABCD?A1B1C1D1中，设E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF//AC11.
D1 证明：连结AC、A1C1，
∵在?ABC中， E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF∥AC.
又∵几何体ABCD?A1B1C1D1是长方体，
//CC1 ∴AA1=A A1 B1 C1
D ∴四边形AA1C1C为平行四边形， ∴AC∥A1C1， ∴EF∥A1C1.
3．如图：EF?GH?P，求证：B、D、P三点共线. 分析：证明一点在另两点确定的直线上. 证明：∵EF?GH?P， ∴P?EF，∴P?面CBD； 同理：P?面ABD. 又∵面ABD?面CBD?BD ∴P?BD
∴B、D、P三点共线.
?4．长方体ABCD?A1B1C1D1中，?B1AB??B1AC11?30.
E B F C
C
P HE F D B A G 1AB与A1C1所成角的大小；○2AA1与B1C所成角的大小；○3AB1与A1C1所成角的余弦值. 求：○
1 ∵四边形ABCD?A解：○1B1C1D1为长方体，
D1
∴AB∥A1B1，
? 即?B1AC11?30，
∴异面直线AB与A1C1所成角即相交直线A1B1与A1C1所成角，
∴异面直线AB与A1C1所成角的大小为30?；
A1 D B1 C1
CB
A 2四边形ABCD?A ○1B1C1D1为长方体，
∴AA1∥BB1，
∴异面直线AA1与B1C所成角即相交直线BB1与B1C所成角， 即?BB1C.
? 又∵?B1AB??B1AC11?30，
∴B1C1?A1B1?tan30?，BB1?AB?tan30?， ∴BB1?B1C1，即四边形BB1C1C为正方形， ∴?BB1C?45?
∴异面直线AA1与B1C所成角的大小为45?；
3连结AC， ○
∵四边形ABCD?A1B1C1D1为长方体，
//CC1， ∴AA1= ∴四边形A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC
∴异面直线AB1与A1C1所成角即相交直线AB1与AC所成角，
即?B1AC，
设BB1?a，
在?B1AC中，B1C?2a，A1B?AC?2a，
A1B2?AC2?B1C23?， ∴cos?B1AC?2A1B?AC43∴AB1与A1C1所成角的余弦值为.
4
三、课堂练习
1．用准确的符号表示“点P在直线l外，直线l在平面?内”为
P?l , l??.
2．已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定 4 个平面.
（另3点是关键）
3．共点的三条直线最多能确定的平面总数是 3个 ；三个平面两两相交，则交线条数为 1或3 . （第3条直线、第3个平面是关键）
4．若A??，B??，A?l，B?l，那么直线l与平面?有 1 个公共点. （线上一点在面内） 5．若A??，A??，B??，B??，那么平面?与?有 无数 个公共点. （两面交线AB） 6．正方体中与棱AA1异面的棱共有 4 条，与AA1异面的面对角线共有 6 条，与AA1异面的对角线共有 2 条；既与AB共面也与CC1共面的棱有 5 条. （共面：平行或相交） 7．下列命题中真命题的个数是 2个 . ⑴空间两组对边分别平行的四边形是平行四边形；⑵空间一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑶空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑷四边相等的四边形是菱形. 8．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是B1D1，A1B的中点，则直线EF与AD1的位置关系
是 平行 .
9．已知直线a, b, c不共面，它们相交于点P，A?a，D?a，B?b，E?c，求证：BD和AE是异面直线. c E 证明：记相交直线a，b确定的平面为?， ∴P,A,B,D??，E??；
BD???A???? ∴??BD和AE是异面直线.
A?BD?E????A ? P B b D a
另证：假设BD和AE共面于?， ∴AD??，即a??； ∴P??，
∴PE??，PB??，
即直线a，b，c共面于?，与直线a, b, c不共面矛盾 ∴BD和AE是异面直线
10．如图，已知E,F分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AA1和CC1上的点，且AE?C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形. D1 C1
取D1G?C1F
A1 B1 ?
//AE 四边形CFGD是平行四边形 D1G= ? ?
E F
D A B 四边形BFGA是平行四边形 四边形AED1G是平行四边形 ? ?
//BF AG//ED1 AG==//BF平行且相等，即四边形EBFD1是平行四边形. ∴ED1=C
11．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点.
1E、C、D1、F，四点共面； ○2CE、D1F、DA三条直线过同一点. 求证：○
AF A1 D1 B1 C1
D E BC
12．正方体中ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，求： 1直线BA1与B1C所成的角是○； 60?2若E, F分别为棱AB, DD1的中点，则A1E与C1F所成的角是○
3A1A与C1D1间的距离为○
90?a；
a；A1B与C1D1间的距离为
.
D1 C1
A1 B1 D C A BD1 C1
A1 B1 D C A BD1 C1 A1 B1 F D C
A E BD1 C1 A1 B1 D C
A B
