自然数约数的个数及所有约数的和
我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。
自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；
上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数
一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以12为例，分解质因数得到12＝22×3。在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。
推广到一般：如果一个数N＝ɑibj?ck，其中，ɑ、b、?、c是N的质因数，i、j、?、k是这些质因数的幂指数。
N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)?(k＋1)
以360为例，360＝23×32×5。质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。
检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。
二、约数的总和
仍以12为例，12＝22×3。根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：22
×31＋21×31＋20×31＋22×30＋21×30＋20×30，
化简后得到：(22＋21＋20)(31＋30)。
所以，12的约数总和等于：(4＋2＋1)(3＋1)＝28。
检验：12的约数有12、6、4、3、2、1，12＋6＋4＋3＋2＋1＝28。
推广到一般，如果一个数N＝ɑibj?ck，其中ɑ、b、?、c是N的质因数，i、j、?、k是这些质因数的幂指数。
N的约数总和等于：
(ɑi＋ɑi-1＋ɑi-2＋?＋ɑ＋1)(bj＋bj-1＋bj-2＋?＋b＋1)?(ck＋ck-1＋ck-2＋?＋c＋1) 这个结果可以化简：
由恒等式(x－1)(xn-1＋xn-2＋?＋x＋1)＝xn－1推知，(x－1)(xn＋xn-1＋?＋x＋1)＝xn＋1
－1，
1
xn?1?1于是，(x＋x＋?＋x＋1)＝。所以，
x?1ai?1?1bj?1?1ck?1?1N的约数总和等于：××?×
a?1b?1c?1n
n-1
仍以360为例。360＝23×32×5，360的约数总和是：
23?1?132?1?151?1?1××＝15×13×6＝1170。 2?13?15?1检验：
360的约数前面已经给出，360＋180＋120＋90＋72＋60＋45＋40＋36＋30＋24＋20＋18＋15＋12＋10＋9＋8＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝1170。
三、完全数
一个数的所有约数中，也包括这个数自己，除此之外，其余的约数都小于这个数，称为这个数的真约数。
如果一个数的真约数之和正好等于这个数，这个数就叫做完全数。如，6的真约数有3、2、1，3＋2＋1＝6，所以6就是一个完全数，而且是最小的完全数。更大的完全数有28、496、8128、??
早在两千多年以前，欧几里得就曾经给出了偶完全数的计算公式：
2n-1(2n－1)
式中，n是大于1的自然数，并且2n－1必须是质数。这样就产生了另一个要求：式中的n不能是合数。因为：
如果n是偶合数，设n＝2m，2n－1＝22m－1＝(2m＋1)(2m－1)，2n－1等于两个数的积，2n－1就是合数，这是不允许的；
如果n是奇合数，设n＝pq，(p、q为奇数)，2n－1＝2pq－1＝(2p)q－1。根据前面引用过的恒等式
xn－1＝(x－1)(xn-1＋xn-2＋?＋x＋1)
可得
2pq－1＝(2p)q－1＝(2p－1)[(2p)q-1＋(2p)q-2＋?＋(2p)＋1)] 2n－1等于两个数的积，2n－1就是合数，同样是不允许的。 所以n只能是质数。
上面所说的4个完全数6、28、496、8128，就是当n分别取前4个质数2、3、5、7时得到的。
第1个质数是2，当n＝2时，2n－1＝22－1＝4－1＝3，3是质数，所以第1个完全数是2n-1(2n－1)＝22-1(22－1)＝2×(4－1)＝6；
第2个质数是3，当n＝3时，2n－1＝23－1＝8－1＝7，7是质数，所以第2个完全数是2n-1(2n－1)＝23-1(23－1)＝4×(8－1)＝28；
第3个质数是5，当n＝5时，2n－1＝25－1＝32－1＝31，31是质数，所以第3个完全数是2n-1(2n－1)＝25-1(25－1)＝16×(32－1)＝496；
2
第4个质数是7，当n＝7时，2n－1＝27－1＝128－1＝127，127是质数，所以第4个完全数是2n-1(2n－1)＝27-1(27－1)＝64×(128－1)＝8128；
第5个质数是11，当n＝11时，2n－1＝211－1＝2048－1＝2047＝23×89，2047是合数，没有与11对应的完全数。
第6个质数是13，当n＝13时，2n－1＝213－1＝8192－1＝8191，8191是质数，所以第5个完全数是2n-1(2n－1)＝213-1(213－1)＝4096×8191＝33550336。
用这种方法依次可以求出更大的完全数：
第6个完全数是8589869056，对应的质数n＝17； 第7个完全数是137438691328，对应的质数n＝19； 第8个完全数是2305843008139952128，对应的质数n＝31。
可以想象，越往后计算越困难，特别是所对应的质数没有规律，而判断一个数位很多的数是不是质数，就更加困难。在尚未发明电脑的时代，找到一个新的完全数，往往需要成年累月的计算，稍有不慎就会导致判断错误。有了电脑以后，情况大为改观，不过，已经发现的完全数都是偶数，至于是否存在奇完全数，依然是一个未解之谜。
四、多重完全数
换一种视角，如果把一个数的约数(包括它自己)全部考虑在内，完全数所有约数的总和就等于它的2倍。那么，有没有这样的数，它的全部约数的总和等于它的3倍、4倍、5倍??呢？有。这样的数称为多重完全数。通常的完全数就是二重完全数。下面是一些多重完全数的例子：
120是一个3重完全数。120＝23×3×5，120的约数的总和是：
23?1?131?1?151?1?1××＝15×4×6＝360，360等于120的3倍； 2?13?15?1672也是一个3重完全数。672＝25×3×7，672的约数的总和是： 25?1?131?1?171?1?1××＝63×4×8＝2016，2016等于667的3倍。 2?13?17?130240是一个4重完全数。30240＝25×33×5×7，30240的约数的总和是： 25?1?133?1?151?1?171?1?1 ×××＝63×40×6×8＝120960，120960等于30240的
5?12?13?17?14倍。
14182439040是一个5重完全数。14182439040＝27×34×5×7×112×17×19，14182439040的约数的总和是：
27?1?134?1?151?1?171?1?1112?1?1171?1?1191?1?1××××××＝255×121×6×
5?12?13?17?111?117?119?18×133×18×20＝70912195200，70912195200等于14182439040的5倍。
重数更多的完全数也有，但是由于数太大，约数太多，就不再举例了。 五、完全数的余波
有时，一个数的真约数之积，会等于这个数的某次幂，如：
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12，它的真约数有1、2、3、4、6，1×2×3×4×6＝144＝122； 20，它的真约数有1、2、4、5、10，1×2×4×5×10＝400＝202； 45，它的真约数有1、3、5、9、15，1×3×5×9×15＝2025＝452；
24，它的真约数有1、2、3、4、6、8、12，1×2×3×4×6×8×12＝13824＝243； 40，它的真约数有1、2、4、5、8、10、20，1×2×4×5×8×10×20＝64000＝403； 48，它的真约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24，1×2×3×4×6×8×12×16×24＝5308416＝484；
80，它的真约数有1、2、4、5、8、10、16、20、40，1×2×4×5×8×10×16×20×40＝40960000＝804；
405，它的真约数有1、3、5、9、15、27、45、81、135，1×3×5×9×15×27×45×81×135＝26904200625＝4054。
这样的数别具一格，就只能看作是完全数的余波了。
想不到，从一个数的约数谈起，竟然会引出这么多饶有兴味的问题，这再一次说明自然数的奇妙有趣。探究自然数的奥秘，无疑是数学家和数学爱好者永恒的追求。
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