代数型综合题
【考点透视】
代数型综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要包括：数与式的运算、方程、函数、不等式、概率与统计等内容，各部分内容既自成系统，又相互联系、穿插渗透，组成一个有机的整体。用到的数学思想方法有化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等。用到的数学基本方法与技能有代入法、待定系数法、配方法、定义法、换元法、面积法等。
代数综合题考察的知识较多、综合性强，能较全面反应学生的综合能力，具有较好的区分度，因此是中考的热点题型。
解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法及解题技巧的灵活运用，要理解题意，化整为零，层层深入，各个击破，注意知识点的横向联系，从而达到解决问题的目的。
下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
【例题剖析】
例题1 已知关于x的不等式ax?3?0 （其中a?0）。
（1）当a??2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；
（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上。从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率。 解析：（1）??2x?3?0?x?此不等式的解集（略） （2）方法1：用列举法
取a??1,不等式ax?3?0的解集为x?3，不等式有正整数解。 取a??2,不等式ax?3?0的解集为x?33 所以此不等式的解集为 x? ，在数轴上正确表示
223，不等式有正整数解。 2取a??3,不等式ax?3?0的解集为x?1，不等式没有正整数解。 取a??4,不等式ax?3?0的解集为x?3，不等式没有正整数解。?? 4所以 整数a取-3至-10中任意一个整数时，不等式没有正整数解。
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所以 P（不等式没有正整数解）＝
84= 105方法二： 由于系数是-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1中的一个负整数，从而不等式ax?3?0的解是x?3，因为该不等式没有正整数解，因此不等式满足条件的a值a84= 105只有两个，即a??1或-2。 所以 P（不等式没有正整数解）＝
说明：本题是概率与不等式的综合运用题。要求学生运用所学知识建立不等式，进而解决实
际问题，本题着力考察学生的创新能力和实践能力，同时巧妙深透了分类讨论的思想。
1x3311例题2 对于正数x，规定f(x)?，例如f(3)??， f()?3?，计算
x?11?3431?143（1）f?2009??f?2008??f?（2）
?1???2009???1?f??? ， 2008???1?f?2008??f?2007??f?2006????f?3??f?2??f?1??f?1??f????2??1??1??1????f??f??????=200620072008??????解析：
?1?f???3?
1x11?1??f?x??,f???x??f(x)?f()?1x?1?x?1?11?xx，
x从而f?2009??f??1???1,f?2008??2009???1????2009??1?f???1 2008???1?f???2 ?2008??1?f???3?所以 f?2009??f?2008??f??1?f?2008??f?2007??f?2006????f?3??f?2??f?1??f?1??f????2??1??1??1????f??f??????=1?2008=2008?2006??2007??2008?
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说明：从数学中的“特殊化思想”入手，找出规律f?x??f??1???1是解答本题的关键。 ?x?acbd?ad?bc。请你根
“例题3 符号
abcd”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：
2据上述规定求出下列等式中x的值：
11?1
x?111?x1解析：?acbd2?ad?bc?11?x21?1 可化为??1 1x?11?xx-121??1的解 x?11?x解得 x?4 经检验 x?4是
?x?4是原方程的解
说明：解决本题的关键是对“二阶行列式”运算法则的正确理解，其运算对学生而言是一种“新运算”，在此基础上，根据“二阶行列式”运算法则将此等式化为分式方程，解分式方程时要注意，解完分式方程要“验根”，这也是解分式方程的“考点”之一。
例题4 已知抛物线y?9?m?252x?2m?3x?3my??的顶点D在双曲线上，直线???xy?kx?c过点D和点C?a,b?，且使y随x的增大而减小，a,b满足方程组
22??a?b?3?0，求这条直线的解析式。 ?22??2a?5ab?2b?0?13m2?10m?3?,解析：由题意可得抛物线顶点D??? m?3m?3??25?1??3m?10m?3??顶点D在双曲线y??上 ，则?????5 ???m?3x?m+3???解的m1??6,m2??4 则D1?1,?5?,D2?,?15?
22??a1??2?a2?2?a?b?3?0,?解方程组? 得? 则C1??2,?1?,C2?2,1?
22?b1??1?b2?1??2a?5ab?2b?0?1?3??又直线y?kx?c过点D和点C且y随x的增大而减小
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?C2?2,1?应舍去
?1??直线y?kx?c经过点D1?1,?5?,C1??2,?1?或D2?,?15?,C1??2,?1?
?3?可得这条直线解析y??411x?或y??6x?13 33说明：本题是二次函数、一次函数、反比例函数及方程组的综合运用题，解题时注意基础知识、基本方法，和各知识点之间的联系，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
y/kmY例题5
900一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图进行以下探究： 信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km; （2）请解释图中点B的实际意义； 图像理解
（3） 求慢车和快车的速度；
A CDO4B 12x/h（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围； 问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 解析：（1）900
（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇；
（3）由图像可知，慢车12小时行驶的路程为900km，所以慢车的速度为75（km/h); 当慢车行驶4h，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为225（km/h),所以快车的速度为150（km/h). (4)根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶
900到达乙地，此时两车之=6（h）150第 4 页 共 12 页
