2011级数学分析（2）期末复习
第一部分 各章内容基本要求
第6章 微分中值定理及其应用(续)
1. 掌握凸函数的概念及其一阶导数、二阶导数刻画，掌握凸函数的詹森(Jensen)不等式，
能够利用凸函数性质证明一些不等式。
2. 掌握拐点的概念，理解其几何意义，会通过函数的驻点、拐点、单调性、凸凹性以
及周期性、奇偶性等描绘函数图像。
例1. 应用凸函数概念或性质证明如下不等式：
a?b(1) 对任意非负实数a,b,有
abe2?12(ae?be);
ab(2) 对任何非负实数a,b,有 2arccota?b2?arccota?arccotb；
?a?b（3）对任意实数a,b?e?2/3有ln??22?22?(alna?blnb). ?2??a?b?例2. 确定下列函数的凸性区间与拐点： （1）y?3x2?x3; （2）y?lnx?（3）y?xlnx; （4）y?21x2;
1?x.
第7章 实数的完备性
1. 掌握区间套、聚点、开覆盖的概念。会求指定点集的聚点，会判断一族开区间
是否构成一个区间（开或半开或闭）的开覆盖。
2. 理解区间套左端点为单调递增有上界数列，右端点为单调递减有下界数列。 3. 理解聚点的三种不同刻画及其等价性，明白集合S可能有聚点，也可能没有聚
点，聚点可以在S中，也可以不在S中，有限点集一定没有聚点，无限点集不一定有聚点。
4. 掌握聚点原理、区间套定理、有限覆盖定理的内容，弄清其成立的条件与结论，掌握一些反例。
5. 理解实数完备性六个基本定理(确界原理、聚点原理、单调有界收敛定理、区间
套定理、有限覆盖定理、Cauchy收敛准则)的等价性及其证明思想。
6. 会用实数完备性的有关定理证明有界闭区间上连续函数的有界性、最值性、介
值性和一致连续性及其相关问题。 例3. 分别求
?1S1???n|?n?1,2,3,...?,S2?[0,1)? 的聚点，并证明之。
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n例4. 验证数集????1???1??有且只有两个聚点?1??1和?2?1. lnn?例5. 设??an,bn??是一个严格开区间套,即满足
a1?a2???an?bn???b2?b1,
且lim?bn?an??0.证明:存在唯一的一点?,使得 an???bn,n?1,2,?.
n??如果没有an和bn的严格单调性，结论是否成立？请说明。
例6. 设H??11?????,?n?1,2,??.问 ??3nn??
(1) H能否覆盖?0,1??
(2) 能否从H中选出有限个开区间覆盖?1??0,1?,????2????11??2011,1?？
????1例7. 设f在(a,b)内连续,且limf(x)?limfx(?)x?a?x?b?.证明201: f在(a,b)内有
最大值或最小值.
例8. 用有限覆盖定理证明有界闭区间上连续函数的有界性。 例9. 用闭区间套定理证明有界闭区间上连续函数的介值性。 例10. 设函数f在?a,??)上连续, 函数g在?a,??)上一致连续，且有
lim?fx???x(?)gx(??). 0证明:f在?a,??)上一致连续. 【分段考虑，用有界闭区间上连续函数的一致
连续性和上述极限】
第8章 不定积分
1. 掌握原函数与不定积分的概念，明白一个函数的任何两个原函数之间只相差一个常
数。
2. 理解函数的不定积分运算是求导运算的逆运算，一个函数的不定积分是一族函数，明白其几何意义。
3. 掌握不定积分的基本性质： (1) (2) (3)
? ?f(x)dx ???f(x), d?f(x)dx?f(x)dx. (先积后导, 形式不变).
?f?(x)dx?f(x)?c, ?df(x)?f(x)?c. (先导后积, 加个常数)
线性和的积分等于积分的线性和，即对? ? , ? ? R, 有
?(?f(x)??g(x))dx???f(x)dx???g(x)dx.
4. 熟记14个基本导数公式及其来源。 5. 掌握三种基本积分法：分拆积分法、分部积分法、换元积分法及其道理和适用对象、
应用技巧，会用其计算某些函数（多项式函数、三角函数、反三角函数、指数函数、
对数函数及其乘积）的不定积分。 6. 会通过三角代换将含有a?x,22x?a的积分转化为三角函数有理式的积分；
22会通过万能代换将三角函数有理式的积分转化为有理函数的积分；会通过根式代换将某些无理根式函数的积分化为有理函数的不定积分；会通过因式分解和变量替换
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将有理函数积分转化为三种特殊积分并会计算三种特殊积分
?
1?x?a?kdx,?1?x2?r2?kdx,?x?x2?r2?kdx。
例11. 求下列不定积分 （1） （3） （5） (7) (9)
?1?xxxdx22. （2）
2)dx. （4）
?x(1?x(x?1)22)dx.
?(2?2?cos2xsinxm2?x?22?xe3x?1dx.
dx . （6）
?cosdxd?2?sin?2 .
?(ax?b)dx, m??1 , a?0. (8)
2?cos3xcos2xdx
x?2x?32?sinxdx. (10)??xdx2
(11)
?2x?3 (12)
?4?xdx2xdx1014
(13)
?x(x?dx2?1)xx (14)
?(x??1)dx2
(15)
sindx. (16)
x(1?x).
(17)
?x(1?2ln?dxx?adx2?xdx1?cosx222dxx). (18)
?arctgxx(1?x)dxx?dxx?ad?,223dx
(19) , (a?0). (20)
?x2
(21)
?. (22)
dxcos??x sin??cos?(23)?(25)
,?1?sinx?cos?. (24)?sin??cos??sin?d?.
?1?sin?d?. (26)
?xlnxdx.
.
(27) (29)
?xcosxdx. (28) ?xarctgxdx?arccosxdx. (30) ?sin3?e2xcos3xdx
（31）
xcosxdx.
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例12. 已知
?f(x)dx?x1?x2?c, 求
?xf?(x)dx.
例13. 设f(x)?0且具有连续导函数. 计算积分
（1）
?f?(x)f(x)lnf(x)dx； （2）?f(x)f?(x)lnf(x)dx.
例14. 求下述积分的递推公式
In???arccosx?ndx。
第9章 定积分
1. 理解定积分的概念，明白其定义过程（分割、取点、近似求和、取极限）及几何意
义，明白函数的定积分是函数的整体性质，一个函数的定积分是一个数值（不是函数），与函数本身以及积分区间（上下限）有关。 2. 掌握定积分的基本性质：线性可加性、区间可加性、不等式性质（有序性）及其推论、反向反号性及其推论、积分第一中值定理。 3. 掌握可积准则（定理9.3），并能够证明下述三类函数的可积性：连续函数、具有有
限多个间断点的有界函数、单调函数（可能有无穷多个间断点）。 4. 理解可导、连续、可积、有界四种性质的关系。
5. 理解可积函数的以下定性性质：可积函数的绝对值函数的可积性（反之未必）；两
个可积函数之积的可积性。
6. 掌握变上（下）限积分的定义与基本关系，掌握微积分学基本定理【连续函数的变
x上（下）限积分函数?f(t)dt是该函数的一个原函数】，掌握微积分学基本公式【牛
ab顿-莱布尼茨公式f(t)dt?F(b)?F(a)】，理解积分第二中值定理及其推论。
?a7. 掌握不定积分与定积分的联系与区别。
8. 熟练掌握定积分的三种基本计算方法及其适用对象：分拆法；分部法；换元法。 9. 会用换元积分法证明：周期函数在区间长度为一个周期的任何区间上积分值相同；
奇函数在原点对称的区间上积分为0；偶函数在原点对称的区间上积分为一半区间上积分的两倍。
10. 会用积分不等式、积分中值定理进行积分估值。
11. 会用定积分定义求有关数列极限。
12. 熟记推广的（高阶导数）分部积分公式，并会由此推导泰勒公式的积分型余项。
例15. 计算下列定积分 (1)
?020??cosxdx； (2) cosx1?sinx22?x?x?2dx；
2?(3)
20dx； (4)
??01?sinxdx；
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