1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
?5200??2100??,则A的逆阵A?1=_____________. (5)设4阶方阵A???001?2???0011??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E (B)CBA?E (C)BAC?E (D)BCA?E 七、（本题满分8分）
已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及β?(1,1,b?3,5).
(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?
(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
?a1b1a1b2?a1bn??abab?ab?212n? (5)设A??21,其中ai?0,bi?0,(i?1,2,?,n).则矩阵A的秩r(A)=_____________.
?????????anb1anb2?anbn?
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?1??0????? (5)要使ξ1??0?,ξ2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A为
?2???1?????(A)??212?
??102?(C)? ??01?1?
?2(B)??0?01(D)??4?2??01
0?1? 11???1??2?? 1??八、（本题满分7分）
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为
?1??1??1??1?????????ξ1??1?,ξ2??2?,ξ3??3?,又向量β??2?.
?1??4??9??3?????????(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?123??,P为三阶非零矩阵,且满足24t (5)已知Q??PQ?0,则 ????369??(A)t?6时P的秩必为1 B)t?6时P的秩必为2
(C)t?6时P的秩必为1 (D)t?6时P的秩必为2 七、（本题满分8分）
2222已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形f?y12?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵. 八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知α?[1,2,3],β?[1,1,1],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An=_____________.
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二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 八、（本题满分8分）
设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
x1?x2?0x2?x4?0(B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）
*设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A?A?时,证明A?0.
