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˙ 比较大小的几种常用方法
˙ （1）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 ˙ （2）求差比较法：设a、b是实数，
˙ a?b?0?a?b,a?b?0?a?b,a?b?0?a?b
ababab˙ （3）求商比较法：设a、b是两正数，
?1?a?b;?1?a?b;?1?a?b;
˙ （4）绝对值比较法：设a、b是两负数，则a?b?a?b。 ˙ （5）平方比较法：设a、b是两负数，则a2?b2?a?b。 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
（6）分类比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3 在1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除，再将剩下的整数由小到大排 列，求第10个数为何？
A．13 B．14 C． 16 D． 17 5 若a < c < 0 < b ，则abc与0的大小关系是（ ）． A．abc < 0 B．abc = 0 C．abc > 0 D．无法确定
˙ 8 35，π，－4，0这四个数中，最大的数是 _ _． ˙ 1．已知a?b,a?0,b?0，把?a,?b,a,b按从小到大的顺序排列起来。 2．若?1?m?0，则m,1m2,m的大小关系：_______________。
˙ 3．若a?0?b?c,a?b?c?1,M?b?ca,N?a?cb,P?a?bc，则M,N,P的大小关系是：_____。（
或M
˙ 考点8：有理数的运算 ˙ 一、有理数的运算律
˙ 1、加法交换律 a?b?b?a
˙ 2、加法结合律 (a?b)?c?a?(b?c) ˙ 3、乘法交换律 ab?ba
˙ 4、乘法结合律 (ab)c?a(bc) ˙ 5、乘法对加法的分配律 a(b?c)?ab?ac
˙ 二、有理数的运算：
˙ 1、加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝
对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 ˙ 2、减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
˙ 3、乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互
为倒数。
˙ 4、除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。
˙ 5、乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 ˙ 三、有理数的运算顺序
˙ 1、先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
1˙ 2、（同级运算）从“左”到“右”（如5÷×5）;(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
5˙ 2．小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃，调高4℃后的温度为
˙ A．4℃ B．9℃ C．－1℃ D．－9℃ C
10、将-8，-6，-4，-2，0，2，4，6，8这9个数填入9个空格中，使每行3个数，每列3 个数，每列3个数，斜对角的3个数相加均为0.
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110?16
?1??1?˙ 8.计算:－(－)=______;?=______;???=______; ???22?2??2?=_______.
3．使等式?8?a??8?a成立的a为（ ） （数轴的意义：绝对值 A、0
B、任意一个非正数
C。任意一个非负数 a?1a?1 D。任意一个有理数
例1．已知a?0，且a?1，那么的值（ ）
A．等于1 B。小于0 C。等于－1 D。大于0
126
˙ 11. 判断3是9的几倍？
11˙ A． 1 B． ()2 C． ()6 D． (－6)2
33˙ （3）60???1?4?15?1?112??135??1??1??2计算：?????只有乘法才有分配律，? （4）?????????；????3?65??346??24??30??310除法是没有分配律的。
1-12˙ 13. 计算?22???2??（-）=（ ）
2˙ A．2 B．－2 C．6 D．10
例2．已知?a?1??b?2?0，求2a?b的值。 （注意这种题的特点
4˙ 15. 计算4?(－1.6)－74˙ A．－1.1 B．－1.8 C．－3.2 D．－3.9
4.趣味题）在“1 2 3 4 5 6 7 8 9＝100”式子的左边添上若干加减号使等式成立，注意不改变数字次序，必要时可将几个数字合成一个数，也可添一个负号，使它变成一个负数，你能想出多少种方法？越多越好！ ˙ 123?4?5?6?7?8?9?100或123?4?5?67?89?100等等
?2.5之值为何？
˙ 16. (2?106)3?（ ）
˙ A．6?109 B．8?109 C．2?1018 D．8?1018 ˙ 18. 计算：17?2???2??33 333
˙ 19. 若a、b两数满足a?567＝10，a?10＝b，则a?b之值为何？ ˙ A．
106
996567567567567
˙ 21．根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E与震级n的关系为E=10n，那么9级地震所释放的相对能量是7
级地震所释放的相对能量的倍数是 ． 7典易．若a,b互为相反数，c,d互为倒数，x?1，求˙ 24. 定义一种运算☆，其规则为a☆b=˙ A． ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
51a B．
103 C．
103 D．
101?x2??a?b?cd?x?cd的值。
＋
1b，根据这个规则、计算2☆3的值是
6525. 定义新运算：对任意实数a、b，都有a⊙b=a2－b，例如：3⊙2=32－2=7，那么2⊙1=_____________. 26.定义运算a?b=a（1－b），下面给出了关于这种运算的几个结论： ①2?（－2）=6 ②a?b= b ? a ③若a+b=0，则（a? a）+（b ? b）=2 ab ④若a?b=0，则a =0 其中正确结论的序号是 ． 规律问题
28. 先找规律，再填数： 111111111111111111??1?,???,???,???,……则+?____?. 122342125633078456201120122011?2012 B．
1 C．5 D．6
2323˙ 29.已知：A3?3?2?6，A4?5?4?3?60，A5?5?4?3?2?120，A6?6?5?4?3?360，?，观察前面
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3的计算过程，寻找计算规律计算A72? ，并比较A95 A10（大小）
˙ 30．观察下面的变形规律： 11111111˙ ＝1－； ＝－；＝－；??
223341?22?33?4˙ 解答下面的问题：
1˙ （1）若n为正整数，请你猜想＝ ；
n(n?1)˙ （2）证明你猜想的结论；
1111˙ （3）求和：＋＋＋?＋ .
1?22?33?42009?2010˙ 变式：
15?9?19?13?113?17????1101?105 14120108．2010减去它的
12，再减去余下的
13，再减去余下的，??，以此类推一直到减去余下的，求最后剩下的数。
˙
˙ 31. 同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+?+n2．但n为
100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0
1×1+1×2+2×3+?+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：
3˙ (1)观察并猜想：
22
˙ 1+2=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)
222
˙ 1+2+3=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3 ˙ =1+0×1+2+1×2+3+2×3
˙ =(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)
2222
˙ 1+2+3+4=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+ ˙ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ˙ =(1+2+3+4)+( ) ˙ ??
˙ (2)归纳结论：
˙ 12+22+32+?+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+?+n ˙ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+?+n+(n一1)×n ˙ =( ) +
˙ = +
1˙ =×
6˙ (3)实践应用：
˙ 通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 ． ˙ 【答案】（1+3）×4 ˙ 4+3×4
˙ 0×1+1×2+2×3+3×4 ˙ 1+2+3+?+n
˙ 0×1+1×2+2×3++?+(n－1)×n
1˙ n(n?1)
21˙ n(n+1)(n—1)
3˙ n(n+1)(2n+1)
4．计算（数形结合思想）：1?12?14?18?116?132?164
变式：计算：
12?14?18?116?132?164（2）请你再设计一个能求
12+
122?123?124?????12n的值的几种图形．
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??1111131??1111??1111??111??????1?????????????? 17??11131719??11131719??111317?8
7．计算：?1??? 提示：观察各项都有共同的式子
111?113?117，因此可设a?111?113?117（整体代换思维
3．1条1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（ ） 5．为了求1?22?23???22008的值，可令S＝1?22?23???22008，则2S＝22?23?24???22009 ，因此2S-S＝22009?1，所以1?22?23???22008＝22009?1仿照以上推理计算出1?52?53???52009的值是（ ） A、52009?1B、52010?1C、
52009?1D、5
2010?1 44
（注意解题方法思路
22．有理数的巧算：
（1）21211?3?414?618?8116?10132 （2）
12010?22010?32010????20092010
（3）?13?5?15?7????12009?2011
（4）
1?3?5?2?6?10?3?9?15?4?12?20?5?15?251?2?3?2?4?6?3?6?9?4?8?12?5?10?15
25、（10分）观察图4，解答下列问题.
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，??，第六层有11个圆圈.如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？第n层呢？ （2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法. 比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，
由此得，1 + 3 = 22. 同样，
由前三层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 = 32. 由前四层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 + 7 = 42. 由前五层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52. 图4 ??
根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来. （4）计算：1 + 3 + 5 + ? + 19的和； （5）计算：11 + 13 + 15 + ? + 99的和.
（3）1 + 3 + 5 + ? +（2n-1）= n2 ??? 6分 （总结经验：如要读完题 上下有提示
