∴点P的坐标为：P1(?23912,32)， P2(6,833)
∵ 抛物线y?x?2839x的对称轴是直线x?2
此抛物线、⊙M都与直线x于是作切线 l 关于直线x得到B、C关于直线
?2成轴对称图形
?2的对称直线 l′(如图)
x?2的对称点B1、C1
?2的对称点：
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x9383P3(,) ，P4(?2,)即为所求的点. 223123283∴这样的点P共有4个：P1(?,)，P2(6,2
9383)，P3(,)，P4(?2,) 322330．（2010四川内江）如图，抛物线y＝mx―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点.
（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理
由..
y A O B x C M 【答案】解：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m(x2―2x―3)＝m(x－1)2―4m,
∴抛物线顶点M的坐标为（1，―4m） ············································································ 2分 ∵抛物线y＝mx―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点， ∴当y＝0时，mx―2mx―3m＝0， ∵m＞0，
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22
∴x―2x―3＝0， 解得x1＝－1，x,2＝3，
∴A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0）. ··········································································· 4分 （2）当x＝0时，y＝―3m， ∴点C的坐标为（0，－3m）,
1∴S△ABC＝×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m， ······································································· 5分
2过点M作MD⊥x轴于D，则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m |＝4m.
y 2
A O D B x C N M ∴S△BCM＝S△BDM ＋S梯形OCMD－S△OBC 111
＝BD2DM＋(OC＋DM)2OD－OB2OC 222
111
＝3234m＋(3m＋4m)31－3333m＝3m， ······························································· 7分 222∴ S△BCM：S△ABC＝1∶2. ································································································· 8分 （3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线.
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m, ∴MN＝DM－DN＝m,
∴CM2＝CN2＋MN2＝1＋m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋9m2， 在Rt△BDM中，BM2＝BD2＋DM2＝4＋16m2.
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°时，CM2＋BM2＝BC2, 即1＋m＋4＋16m＝9＋9m， 解得 m＝±
2
, 2
2
2
2
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∵m＞0，∴m＝
2. 2
2232x－2x－使得△BCM是Rt△; ··················································10分 22
∴存在抛物线y＝
②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°时，BC2＋CM2＝BM2. 即9＋9m＋1＋m＝4＋16m， 解得 m＝±1, ∵m＞0，∴m＝1.
∴存在抛物线y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△;
③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°时，BC＋BM＝CM. 即9＋9m2＋4＋16m2＝1＋m2， 1
整理得 m2＝－，此方程无解,
2
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.
（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.） 综上的所述，存在抛物线y＝
22322x－2x－和y＝x－2x－3使得△BCM是Rt△. 22
2
2
2
2
2
2
31．（2010 福建三明）已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线x??2。
（1）求抛物线与x轴的另一交点A坐标；（2分） （2）求此抛物线的解析式；（3分）
（3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B）不重合，过点E
作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若
存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的 坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请 说明理由。
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【答案】（1）∵抛物线y?ax2?bx?C的对称轴是直线x??2
∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0）
????2分
（2）∵点C（0，8）在抛物线y?ax2?bx?C的图象上?C?8
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式得
2?a????0?36a?6b?828?3解得 ∴所求解析式为y??x?x?8 ??0?4a?2b?8338??b???3?[也可用y?a(x?6)(x?2)把C(0,8)代入求出a] （3）依题意，AE=m，则BE=8-m
∵OA=6，OC=8，∴AC=10
∵EF//AC ∴?BEF≌?BAC
?EFAC?BFAB即EF?40?5m4????5分
45过点F作FG⊥AB，垂足为G，则Sin?FEG?Sin?CAB??FGEF?45?FG?440?5m??8?m 54
?S?S?BCE?S?BFE ?12(8?m)?8?12m212(8?m)(8?m)
???4m ????10分
（4）存在.理由如下：
?S??12m2?4m??12(m?4)?8且?212?0
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8 ∵m=4
∴点E的坐标为（——-2，0）
??BCE为等腰三角形 ????14分
????12分
32．（2010 湖北孝感） 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线y?x?1与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上。 （1）二次函数的解析式为y= ；（3分）
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