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勾股定理
重点是：勾股定理及其逆定理的应用 难点是：勾股定理及其逆定理的应用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 3. 如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）
（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c=a+b，则△ABC是以∠C为直角的三角形。（若c2>a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2 一、 例题分析 2 2 2 2 2 2 例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）+（4x）=20 化简得x2=16； ∴直角三角形的面积= 2 2 2 133x34x=6x2=96 2A注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。 解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D C1则：BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） 2∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1 BD1 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 在直角三角形ABD中AB=AD+BD，即：AD=AB－BD=4－1=3 ∴AD=3 S△ABC= 2 2 2 2 2 2 1BC2AD= 3 2注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 3a。 4例3、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得： ?x?y?5?12?222x?y?5?2 (1) (2)2 2 由（1）得：x+y=7， （x+y）=49，x+2xy+y=49 (3) (3)－(2)，得：xy=12 ∴直角三角形的面积是 1xy=1312=6（cm2） 22例4、在锐角△ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围。 分析：显然第三边b－a 解：设第三边为c，并设△ABC是直角三角形 ①当第三边是斜边时，c=b+a，∴c=10 ②当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b=a+c，∴c=22（即8） ∵△ABC为锐角三角形 所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成 为锐角（如图），但当移动到点A2位置时∠ACB成为直角。故点A应当在A1和A2间移动，此时22 注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以 2 2 2 2 2 2 AA'331CB 2 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 有两种情况要考虑。 例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b=c－a=（c－a）（c+a）来判断。例如：对于选择支D， ∵8≠（40+39）3（40－39）， ∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 答案：A 例6、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解：连结AC ∵∠B=90°，AB=3，BC=4 ∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5 ∵AC+CD=169，AD=169 ∴AC2+CD2=AD2 ∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= 2 2 2 22 2 2 CBAD1AB2BC+1AC2CD=36 22本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。 例7、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2=（n+3）2 化简得：n=4 ∴n=±2，但当n=－2时，n+1=－1<0，∴n=2 二、 2 练习题 3 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 1、等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是________，面积是_________。 2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。 3、一个直角三角形一条直角边为16cm，它所对的角为60°，则斜边上的高为_______。 4、四个三角形的边长分别是①3，4，5 ；②4，7，8其中是直角三角形的是（ ） A、①② B、①③ C、①④ D、①②③ DC1③7,24,25；④31,41,51；22225、如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ） A、1：2：4 B、！：3：5 C、3：4：7 D、5：12：13 6、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。 7、已知直角三角形中，两边的长为3、4，求第三边长。 8、△ABC中，∠C=90°，a=5，c－b=1，求b，c的长。 9、如图：△ABC中，AD是角平分线，AD=BD，AB=2AC。 求证：△ACB是直角三角形。 ABA4 CDB
