(4) c>0时，a>b c<0时，a>b 运算性质有： (1) a>b, c>d
a+c>b+d。
ac>bd。
(2) a>b>0, c>d>0 (3) a>b>0
an>bn (n∈N, n>1)。
1
(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
[典型例题]：
例1．设x, y∈R，判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系。
(1)命题甲：
，命题乙：
(2)命题甲：
，命题乙：
分析与解答：
(1)当x>0且y>0时，由实数的性质可知x+y>0, xy>0, 当xy>0时，x,y同号；又x+y>0，可知x, y同x>0且y>0。 因此，命题甲是命题乙的充分必要条件。 (2)∵ x>2>0, y>2>0, ∴ x+y>4, xy>4,
即
，反之， ，反例如下：令x=100, y=,
此时，x+y>4, xy>4, 但x>2，而y<2，即不成立，
∴ 命题甲是命题乙的充分条件，但不必要条件。
例2．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
分析与解答：设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水速度为v(u>v>0)，则船在流水中在甲地和
2
乙地间来回行驶一次的时间t=
。平均速度，
∵ =-<0，∴
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。
例3．xy≠0, 比较
分析与解答：∵xy≠0, ∴ 而
（1）当x3+y3≤0时，
（2）当x3+y3>0时，设A=( B=(
)6=(x2+y2)3=x6+3x4y2+3x2y4+y6。
)6=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6。 ≤0，
>0, ∴
<
。
可正可负，所以，可分情况比大小。
>0,
与
的大小。
A-B=-3x2y2[(x-
)2+y2]
∵ (x-
)2+y2>0，∴ A-B<0, ∴A 根据不等式的性质，
综上可知，
<
即 <,
。
练习：
（1）判断下列各命题的正误，并说明理由。
① a>b>c
ab>ac。② a2>b2, ab>0。③ a3>b3, ab>0
3
。
（2）a>b，则成立的充要条件是（ ）。
A、a>b>0 B、b0>b D、0
（3）若a,b,m∈R+, a 练习答案：
（1）①× ②× ③√
（2）C
与的大小。
（3）>在线测试
选择题
1．下列命题正确的是( )
(A)若ac>bca>b (B)若a>ba>b 2．已知a，b，c∈R，则下面推理中正确的是( )
(A)a>b
3
3
2
2
(C)若a
am>bm
22
(B)
2
2
a>b
(C)a>b，ab>0 (D)a>b，ab>0 3．已知a>b，c>d，则下列命题中正确的是( ) (A)a-c>b-d (B) (C)ac>bd 4．若x+y>0，a<0，ay>0则x-y的值为( )
(A)大于0
(B)小于0
(C)等于0
(D)c-b>d-a
(D)符号不确定
5．正数a，b，c，d满足a+d=b+c，|a-d|<|b-c|，则有( )
(A)ad=bc
(B)ad(C)ad>bc
(D)ad与bc大小不定
答案与解析
答案：1、D 2、C 3、D 4、A 5、C
解析：
1、解答：分析：用验证法。
(A)中若c<0，则不成立； (B)中若a，b均小于0或a<0，则不成立；
(C)中若a>0，b<0，则不成立； (D)中有a>0，b>0，据平方法则可得，故本题应选(D)。
2、解答：用淘汰法。
4
