高考专题突破一 高考中的不等式问题
题型一 含参数不等式的解法
例1解关于x的不等式x＋ax＋1>0(a∈R)． 解 对于方程x＋ax＋1＝0，Δ＝a－4.
－a－a－4
(1)当Δ>0，即a>2或a<－2时，方程x＋ax＋1＝0有两个不等实根x1＝，x2
2
2
2
2
2
2
－a＋a－4＝，
2且x1 所以原不等式的解集为 2 ??－a－a2－4－a＋a－4?x?x<或x>22?? 2 ? ?； ? (2)当Δ＝0，即a＝±2时， ①若a＝2，则原不等式的解集为{x|x≠－1}； ②若a＝－2，则原不等式的解集为{x|x≠1}； (3)当Δ<0，即－2 思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 跟踪训练1 (1)若不等式ax＋8ax＋21<0的解集是{x|－7 解析 由题意可知－7和－1为方程ax＋8ax＋21＝0的两个根． 21 ∴－7×(－1)＝，故a＝3. 2 2 2 2 a(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是__________． 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析 依题意得，|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，即函数y＝|x－1|＋|x＋ m|的最小值是|m＋1|，于是有|m＋1|>3，m＋1<－3或m＋1>3，由此解得m<－4或m>2.因此 实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 1 题型二 线性规划问题 x＋2y≥2，?? 例2(2018·浙江五校联考)已知实数x，y满足约束条件?x－y≥－1， ??2x－y≤4， 大值为16，则实数a＝________，z的最小值为________． 答案 2 1 且z＝ax＋y的最 解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC及其内部区域)．目标函数z＝ax＋y对应直线ax＋y－z＝0的斜率k＝－a. ??2x－y＝4， (1)当k∈(－∞，1]，即－a≤1，a≥－1时，目标函数在点A处取得最大值，由? ?x－y＝－1，? 解得A(5,6)，故z的最大值为5a＋6，即5a＋6＝16，解得a＝2. (2)当k∈(1，＋∞)，即－a>1，a<－1时，目标函数在点C处取得最大值，由?解得C(0,1)，故z的最大值为0×a＋1＝1，不符合题意． 综上，a＝2. 数形结合知，当直线z＝2x＋y经过点C时，z取得最小值，zmin＝2×0＋1＝1. 思维升华 1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有 2→→ (1)截距型：如z＝－2x＋y，z＝x，z＝OP·OM(其中M(x，y)为区域内动点，P(－2,1))，等 4等． (2)距离型：如z＝(x－2)＋y，z＝|2x－y|，等等． 2 2 ?x＋2y＝2，? ??x－y＝－1， yy＋1x＋y＋1xy＋1xx2＋?y＋1?2 (3)斜率型：如z＝，z＝，z＝，z＝＋＝，等等． xxy＋1xy＋1xy＋xy2x22 (4)二次曲线型：如z＝xy，z＝，z＝＋y，等等． x2 2 3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点． x－y＋1>0，?? 跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x，y满足约束条件?x＋y－3<0， ??y>0， －y的取值范围为( ) A．(－6，－1) C．(－1,8) 答案 D B．(－8，－2) D．(－2,6) 则z＝2x解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y＝2x，平移直线，直线z＝2x－y在点B(－1,0)处的取最小值为－2，在点C(3,0)处的取最大值为6，所以z＝2x－y的取值范围为(－2,6)． 方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z＝2x－y求值，得0，－2,6，所以z＝2x－y的取值范围为(－2,6)． 2x＋5y≥0，?? (2)若x，y满足?2x－y≥0， ??x≤5， 2 2 则不等式组表示的平面区域的面积为________，z＝(x＋ 1)＋(y－1)的最小值为________． 9 答案 30 5 2x＋5y≥0，?? 解析 作出?2x－y≥0， ??x≤5 表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表 11 示的平面区域的面积为×5×2＋×10×5＝30. 22 3 z＝(x＋1)2＋(y－1)2表示可行域内的点(x，y)与点M(－1,1)之间的距离的平方，数形结合易 知，z＝(x＋1)＋(y－1)的最小值为点M(－1,1)到直线2x－y＝0的距离的平方，即zmin＝2 2 |2×?－1?－1|2[22＋?－1?2]2 ＝95 . 题型三 基本不等式的应用 例3 (1)已知x2 ＋4xy－3＝0，其中x>0，y∈R，则x＋y的最小值是( ) A.3 2B．3C．1D．2 答案 A 2 解析 由x2 ＋4xy－3＝0，得y＝3－x4x， 即有x＋y＝x＋3－x2 4x＝3?1?4??x＋x?? . ∵x>0，∴x＋1x≥2，即x＋y≥3 2 ， 当且仅当x＝1x，即x＝1，y＝13 2时，x＋y取得最小值2 . ?a2 (2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则?＋1?ab－2??? ·c＋2c－1的最小值为______． 答案 4＋22 ∵a2＋1a2＋?a＋b?22a2＋2ab＋b2解析ab＝ab＝ab ＝2a＋b＋2≥22abab·ba＋2＝22＋2， ?当且仅当?2a?b＝ba， ?a＝2－1，??a＋b＝1， 即? ?b时等号成立， ＝2－2 ∴?2 ?a＋1?ab－2??? ·c＋2c－1≥22c＋2c－1 ＝22(c－1)＋ 2 c－1 ＋22 4
