弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）?x?Ax?By，?y?Cx?Dy，?xy?Ex?Fy； （2）?x?A(x2?y2)，?y?B(x2?y2)，?xy?Cxy； 其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程
???x??yx??0??y??2?2???x；（2）在区域内的相容方程?（3）在边界上的应力???x2??y2????x??y??0；???????y?xy?0??x??y???l?x?m?yx?s?f边界条件????m?y?l?xy?s?fx?s?；（4）对于多连体的位移单值条件。 y?s?（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2322、已知应力分量?x??Qxy2?C1x3，?y??3，Cxy???Cy?Cxy，体力不计，Q为xy2322常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程
???x??yx??0??x?y? ??????y?xy?0??x??y得
??Qy2?3C1x2?3C2y2?C3x2?0 ??3Cxy?2Cxy?023?即
??3C1?C3?x2??Q?3C2?y2?0 ???3C2?2C3?xy?0由x，y的任意性，得
1
?3C1?C3?0??Q?3C2?0 ?3C?2C?03?2由此解得，C1?QQQ，C2??，C3? 6233、已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0，代入平衡微分方程
???x??yx??X?0??x?y??
??y??xy??Y?0???y?x?可知，已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：
?2?xy?2?2(?x???y)?2(?y???x)?2(1??)
?x?y?y2?x将已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程：
2?2??2?2??xy(?x??y)?2(?y??x)? 21??1??1???x?y?y?x将已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否
可能存在。 （1）?x?Axy，?y?By3，?xy?C?Dy2； （2）?x?Ay2，?y?Bx2y，?xy?Cxy； （3）?x?0，?y?0，?xy?Cxy； 其中，A，B，C，D为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
2
22?2?x??y??xy ?2?2?x?y?y?x将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）2A?2By?C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则?x?0，?y?0，?xy?0（1分）。 5、证明应力函数??by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b?0）。
h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数??by2代入相容方程
?4??4??4??222?4?0 4?x?x?y?y可知，所给应力函数??by2能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
?2??2??2??0 ?x?2?2b，?y?2?0，?xy???x?x?y?y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四
个边上的面力分别为：
h上边，y??，l?0，m??1，fx??(?xy)h?0，fy??(?y)h?0；
y??y??222h下边，y?，l?0，m?1，fx?(?xy)h?0，fy?(?y)h?0；
y?y?222l左边，x??，l??1，m?0，fx??(?x)l??2b，fy??(?xy)l?0；
x??x??222l右边，x?，l?1，m?0，fx?(?x)l?2b，fy?(?xy)l?0。
x?x?222
3
可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数??by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数??axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a?0）。
h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数??axy代入相容方程
?4??4??4??2??0 ?x4?x2?y2?y4可知，所给应力函数??axy能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
?2??2??2???a ?x?2?0，?y?2?0，?xy???x?x?y?y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四
个边上的面力分别为：
h上边，y??，l?0，m??1，fx??(?xy)h?a，fy??(?y)h?0；
y??y??222h下边，y?，l?0，m?1，fx?(?xy)h??a，fy?(?y)h?0；
y?y?222l左边，x??，l??1，m?0，fx??(?x)l?0，fy??(?xy)l?a；
x??x??222l右边，x?，l?1，m?0，fx?(?x)l?0，fy?(?xy)l??a。
x?x?222可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数??axy能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为?，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分
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