解：第二宇宙速度时E?0，由机械能守恒：
1Mm mvA2?G24RM1vA?G?gR 2R2再由动量守恒：mv2R?mvA?4Rsin?， 0?ROA4R?vv2?2Rg代入：???300。
2-27．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：
2mg?T2?2ma┄①
T1?mg?ma┄② (T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④
a?r?，J?mr2/2┄⑤
111联立，解得：a?g，T?mg。
48T
2-28．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：??m，在杆上取l一小质
元dm??dx，有微元摩擦力： df??dmg???gdx，
微元摩擦力矩：dM???gxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩：
1M?2???gxdx??mgl；
4t0d?，有：??Mdt??Jd?， 0?0dt?l11??mglt??ml2?0，∴t?0。
3?g4121或利用：?Mt?J??J?0，考虑到??0，J?ml2，
12?l有：t?0。
3?gl20（2）根据转动定律M?J??J
22-29．如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大
距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为xmax。 由机械能守恒：
12kxmax?mgxmax，有： 2xmax?2mg?0.49m； k1211kx?mv2?J?2?mgx， 222v111考虑到??，有：kx2?mR2?2?J?2?mgx，
R222d?欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令?0，有：
dx1d?d?mgkx?(mR2?J)?2??mg，将?0代入，有：x??0.245(m)，
2dxdxk∴当x?0.245m时物体速度达最大值，有：
1mgx?kx222vmax?，代入数值可算出：vmax?1.31m/s。
1J(m?2)2r（2）当物体下落时，由机械能守恒：
2-30．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑
2l．轻杆原来静止在竖直位置。今31有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的速度返回，
2固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守恒，有：
132122llmv0?l??m?v0?l?m()2??2m?()2?
323334221有：(l2?l2)??v0l?v0l
99333v∴??0
2l
思考题
2-1．质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持图所示．设木板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小球对木将怎样变化？
解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1， 方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于 N2木板，小球受重力为mg，建立平衡方程：
N1N2sin??mg，N1?N2cos? ?所以当?增大，小球对木板的压力N2将减小；
小球对墙壁的压力N1也减小。
mg平衡，如板的压力
2-2．质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少？ 解：由于系统在拉力F作用下做匀速运动， 对A进行受力分析，知：F?kx??m1g， 对B进行受力分析，知：kx??m2g
突然撤消拉力时，对A有：m1aA?kx??m1g，所以aA??对B有：m2aB?kx??m2g，所以aB?0。
?2-3．如图所示，用一斜向上的力F (与水平成30°角)，将一木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数?的大小为多少？ 解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：
m1?m2g， m1?重为G的木块向上
Fsin300?G??N N?Fcos300
整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明：
13133总成立），则可得：。 ??F?G??F即：F??F（此式中F无论为多大，
32222
2-4．如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？
(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。 (B) 它的速率均匀增加。
(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。 (D) 它的合外力大小不变。
(E) 轨道支持力的大小不断增加。
解：在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B的说法不对；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。
v2下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，N?mgsin??m
R则E的说法正确。
2-5．A和B两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙．F力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?
??答：根据功的定义：A?F??r
所以当它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样时，两个功是相等的； 但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。
2-6．按质点动能定理，下列式子：
1212mvx2?mvx1 ?x122y21212Fdy??y1y2mvy2?2mvy1 z21212Fdz??z1z2mvz2?2mvz1
x2Fxdx?是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。
答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。
2-7．在劲度系数为k的弹簧下，如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?
答：如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg?kx，所以x?如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：mgx?mg； k12kx，所以 2x?2mg。 k
2-8．一?粒子初时沿x轴负向以速度v运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与x轴成120?的方向运动(速度大小不变)．试用矢量在图上表出?粒子所受到的冲量I的大小和方向。 ?mv2解：由：
????I?mv2?mv1， I考虑到v2?v1，
见右图示。 ?mv1
2-9．试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。
风风?解：可用动量定理来解释。设风沿与航向成α角的方向
f//'从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研
究对象，Δm表示这块空气的质量，v1和v2分别表示它 ??f'f吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风 ?'速大小基本不变，但是由于Δm的速度方向改变了，所 以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，Δm必然
对帆有一个反作用力f?，此力的方向偏向船前进的方向，将f?分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。
2-10．当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：
12Gmem12Gmemmv2??mv1?， 2r22r1mv2sin?2?mv1sin?1，
mv2Gmem?， rr2试分析上述三个方程各在什么条件下成立。
解：（1）机械能守恒； （2）角动量守恒；
（3）万有引力提供向心力。
2-11．在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？ 答：对于这个系统，（1）动量守恒；（2）能量守恒，因为没有外力做功。
2-12．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是： （A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。 答：本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.
当两小孩质量相等时，M=0。则系统角动量守恒，两人的实际的速度相同，将同时到达滑轮处，与谁在用力，谁不在用力无关。
选择C。
按图示方2-13．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度?向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度?怎样变化？ 答：增大
2-14．一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒； （C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C）
