[解答]（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是
δ = asinθ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)， 当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此
λ1 = 3λ2．
（2）当其它极小重合时，必有k1`λ1 = k2`λ2， 所以 k2` = 3k1`．
7．2 单缝的宽度a = ，以波长λ = 589nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f = ．求： （1）第一暗纹距中心的距离； （2）第二明纹的宽度；
（3）如单色光以入射角i = 30o斜射到单缝上，则上述结果有何变动？ [解答]（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是
，(k` = 1,2,3,…)，
当k` = 1时，y1 = fλ/a = (mm)．
（2）除中央明纹外，第二级明纹和其它明纹的宽度为 Δy = yk`-1 - yk` = fλ/a = (mm)． （3）当入射光斜射时，光程差为
δ = asinθ – asinφ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)． θ 当k` = 1时，可得
a sinθ1 = sinφ ± λ/a = 和，
21/2O φ cosθ1 = (1 – sinθ1)
= 和．
两条一级暗纹到中心的距离分别为
y1 = ftanθ1 = (mm)和(mm)． 当k` = 2时，可得
21/2
sinθ2 =asinφ ± λ/a = 和，cosθ2 = (1 – sinθ2) = 和． 两条二级暗纹距中心的距离分别为：y2 = ftanθ2 = (mm)和(mm)． 第二明纹的宽度都为Δy = y2 – y1 = (mm)，比原来的条纹加宽了．
7．3 一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600 nm的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长．
[解答]除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是 ，(k = 1,2,3,…)．
当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k1 + 1)λ1 = (2k2 + 1)λ2， 解得此单色光的波长为
= (nm)．
7．4 以某放电管发出的光垂直照射到一个光栅上，测得波长λ1 = 669nm的谱线的衍射角θ = 30o．如果在同样的θ角处出现波长λ2 = 446nm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小为多少？
[解答]根据光栅方程得：(a + b)sinθ = k1λ1 = k2λ2，
方程可化为两个：(a + b)sinθ/λ1 = k1和 (a + b)sinθ/λ2 = k2， 解得光栅常数为：．
由于k2/k1 = λ1/λ2 = 3/2，
所以当k1 = 2时，. k2 = 3，因此光栅常数最小值为：= 2676(nm)．
-5
7．5 一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为×10m，光栅后放一焦距为1m的的凸透镜，现以λ = 500nm的单色光垂直照射光栅，求：
（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？ （2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？
[解答]（1）光栅常数为：a + b = 400 = ×10(m)，
-5-5
由于刻痕宽为b = ×10m，所以透光缝宽为：a =(a + b) – b = ×10(m)．
根据单缝衍射公式可得中央明纹的宽度为：Δy0 = 2fλ/a = 100(mm)． （2）由于：(a + b)/a = = 5/2，
因此，光栅干涉的第5级明纹出现在单缝衍射的第2级暗纹处，因而缺级；其它4根条纹各有两根在单缝衍射的中央明纹和一级明纹中，因此单缝衍射的中央明纹宽度内有5条衍射主极大明纹，其中一条是中央衍射明纹．
7．6 波长为600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极大明纹分别出现在sinθ = 及sinθ = 处，第四级缺级，求：
（1）光栅常数；
（2）光栅上狭缝的宽度；
（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹？ [解答]（1）（2）根据光栅方程得：(a + b)sinθ2 = 2λ； 由缺级条件得(a + b)/a = k/k`，其中k` = 1，k = 4．
解缺级条件得b = 3a，代入光栅方程得狭缝的宽度为：a = λ/2sinθ2 = 1500(nm)． 刻痕的宽度为：b = 3a = 4500(nm)， 光栅常数为：a + b = 6000(nm)．
（3）在光栅方程(a + b)sinθ = kλ中，令sinθ =1，得：k =(a + b)/λ = 10． 由于θ = 90°的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9．又由于缺了4和8级明条纹，所以在屏上能够观察到2×7+1 = 15条明纹．
7．7 以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角θ = 41o的方向上看到λ1 = 和λ2 = 的谱线重合，求光栅常数的最小值是多少？
[解答]根据光栅方程得：(a + b)sinθ = k1λ1 = k2λ2， 方程可化为两个
(a + b)sinθ/λ1 = k1
和 (a + b)sinθ/λ2 = k2， 解得光栅常数为;．
由于k2/k1 = λ1/λ2 = = 16/10 = 8/5，
所以当k1 = 5时，. k2 = 8，因此光栅常数最小值为:= 5000(nm)． 其它可能值都是这个值的倍数．
7．8 白光中包含了波长从400nm到760nm之间的所有可见光谱，用白光垂直照射一光栅，每一级衍射光谱是否仍只有一条谱线？第一级衍射光谱和第二级衍射光谱是否有重迭？第二级和第三级情况如何？
[解答]方法一：计算法．根据光栅方程(a + b)sinθ = kλ，对于最短波长λ1 = 400nm和最长波长λ2 = 760nm的可见光，其衍射角的正弦为sinθ1 = kλ1/(a + b)和sinθ2 = kλ2/(a + b)，数值如下表所示．
可见第一级衍射光谱与第二级衍射光谱没有级数k 1 2 3 4 重迭，第二级衍射光谱与第三级衍射光谱从量值
sinθ1(nm/(a+400 800 1200 1600 1200到1520是重迭的，第三级衍射光谱与第四级
b)) 衍射光谱从量值1600到2280是重迭的．
sinθ2(nm/(a+760 1520 2280 3040 方法二：曲线法。由于白光是连续光谱，经过
b)) 光栅衍射之后仍然是连续光谱，而不是一条谱线．
波长最长的单色光与波长最短的单色光相比，中央衍射明条纹的宽度增加了，由于最长波长不到最短波长的2倍，第一级衍射光谱和第二级衍射光谱不重迭，第二级衍射光谱和第三级衍射光谱重迭．
2
-5
7．9 迎面开来的汽车，其两车灯相距为1m，汽车离人多远时，两灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径d为3 mm，光在空气中的有效波长为λ = 500nm）
-4
[解答]人眼的最小分辨角为:θ0 = λ/D = ×10(rad)， 当车很远时θ0 = w/l，所以距离为:l = w/θ0 = 4918(m)．
7．10 在X射线衍射实验中，用波长从到连续的X射线以30o角入射到晶体表面．若晶体的晶格常数d = ，则在反射方向上有哪些波长的X射线形成衍射极大？
[解答]30o是入射角，因此掠射角为:θ = 90o - 30o = 60o．
根据布喇格公式2dsinθ = kλ，得X射线形成衍射极大的波长为:λ = 2dsinθ/k，(k = 1,2,3,…)．
数值和结果如下表所示． 级数k 1 2 3 4 5 6 波长 λ(nm) No 是否所No No 求
Yes Yes No 第八章 光的偏振
8．1 两偏振片组装成起偏和检偏器，当两偏振片的偏振化方向夹角成30o时观察一普通光源，夹角成60o时观察另一普通光源，两次观察所得的光强相等，求两光源光强之比．
[解答]第一个普通光源的光强用I1表示，通过第一个偏振片之后，光强为I0 = I1/2．
22
当偏振光通过第二个偏振片后，根据马吕斯定律，光强为I = I0cosθ1 = I1cosθ1/2．
2
同理，对于第二个普通光源可得光强为I = I2cosθ2/2．
2222
因此光源的光强之比I2/I1 = cosθ1/cosθ2 = cos30o/cos60o = 1/3．
8．2 一束线偏振光和自然光的混合光，当它通过一偏振片后，发现随偏振片的取向不同，透射光的强度可变化四倍，求入射光束中两种光的强度各占入射光强度的百分之几？
[解答]设自然光强为I1，线偏振光强为I2，则总光强为I0 = I1 + I2． 当光线通过偏振片时，最小光强为自然光强的一半，即Imin = I1/2； 最大光强是线偏振光强与自然光强的一半之和，即Imax = I2 + I1/2． 由题意得Imax/Imin = 4，因此2I2/I1 + 1 = 4， 解得I2 = 3I1/2．此式代入总光强公式得
I0 = I1 + 3I1/2．
因此入射光中自然光强的比例为I1/I0 = 2/5 = 40%． 由此可得线偏振光的光强的比例为I2/I0 = 3/5 = 60%．
[讨论]如果Imax/Imin = n，根据上面的步骤可得
I1/I0 = 2/(n + 1)，
I2/I0 = (n - 1)/(n + 1)，
可见：n的值越大，入射光中自然光强的比例越小，线偏振光的光强的比例越大．
8．3 水的折射率为，玻璃的折射率为，当光由水射向玻璃时，起偏角为多少？若光由玻璃射向水时，起偏角又是多少？这两个角度数值上的关系如何？
[解答]当光由水射向玻璃时，水的折射率为n1，玻璃的折射率为n2，根据布儒斯特定律
tani0 = n2/n1 = ，
得起偏角为i0 = o．
当光由玻璃射向水时，玻璃的折射率为n1，水的折射率为n2，根据布儒斯特定律
tani0 = n2/n1 = ，
得起偏角为i0 = o．
可见：两个角度互为余角．
8．4 根据布儒斯特定律可测量不透明介质的折射率，今测得某釉质的起偏角为58o，则该釉质的折射率为多少？
[解答]空气的折射率取为1，根据布儒斯特定律可得釉质的折射率为n = tan i0 = ．
8．5 三个偏振片堆栈在一起，第一块与第三块偏振化方向互相垂直，第二块与第一块的偏振化方向互相平行，现令第
ω θ 二块偏振片以恒定的角速度ω0绕光传播方向旋转，如图所
示．设入射自然光的光强为I0，试证明：此自然光通过这一系统后出射光强度为I = I0(1 – cos4ωt)/16．
[证明]自然光通过偏振片P1之后，形成偏振光，光强为 P1 P2 P3
I1 = I0/2．
图
经过时间t，P3的偏振化方向转过的角度为θ = ωt，
2
根据马吕斯定律，通过P3的光强为I3 = I1cosθ．
由于P1与P2的偏振化方向垂直，所以P2与P3的偏振化方向的夹角为φ = π/2 – θ， 再根据马吕斯定律，通过P2的光强为
I = I3cos2φ = I3sin2θ= I0(cos2θsin2θ)/2 = I0(sin22θ)/8= I0(1 – cos4θ)/16， 即 I = I0(1 – cos4ωt)/16． 证毕．
8．6 如图所示，自然光以起偏角i0从空气射向水面，水中有一块玻璃板，若以玻璃反射之光亦为线偏振光，求水面和玻璃平面的夹角（n玻 = ，n水 = ）．
[解答]根据布儒斯特定律：
i0 tani0 = n水，
可得空气的起偏角为i0 = arctann水 = °． θ θ 水 折射角为γ = 90° - i0 = °．
再根据布儒斯特定律：tani = n玻/n水 = ， i γ 玻璃 可得玻璃的起偏角为i = °．
水面和玻璃平面的夹角为θ = i – γ = °．
图
[讨论]为了简便起见，设n1 = n水，n2 = n玻，
那么tani0 = n1，tani = n2/n1，水面与玻璃平面的夹角为
θ = i – γ = (i + i0) - 90°，
因此．
这是最终公式，代入数值得tanθ = ， 夹角为θ = °．
8．7 一方解石晶体置于两平行的且偏振化方向相同的偏振片之间，晶体的主截面与偏振片的偏振化方向成30o，入射光在晶体的主截面内，求以下两种情况下的o光和e光强度之比．
（1）从晶体出射时； （2）从检偏器出射时．
[解答]（1）从偏振片入射到晶体的光分成o光和e光，o光垂直于主截面，e光平行于主截面．设入射偏振光的振幅为A，则Ao = Asinθ，Ae = Acosθ， 当光从晶体出射时，o光和e光强度之比为 ．
（2）从晶体出射的o光和e光入射到第二块偏振片时，只有沿偏振化方向的光能够通过，o光和e光的振幅为A`o = A osinθ，A`e = A ecosθ， 当光从偏振片出射时，o光和e光强度之比为
．
8．8 某晶体对波长为的光的主折射率为no = ，ne = ．用其制成适应于该波长光的1/4玻片，芯片至少要多厚？该波片的光轴方向如何？
