大学物理上册课后习题答案
第一章 质点运动学
23
1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t - 2t．试求： （1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程； （3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
23
[解答]（1）质点在第1s末的位置为：x(1) = 6×1 - 2×1 = 4(m)．
23
在第2s末的位置为：x(2) = 6×2 - 2×2 = 8(m)． 在第2s内的位移大小为：Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，
-1
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为：=Δx/Δt = 4(m·s)．
2
（2）质点的瞬时速度大小为：v(t) = dx/dt = 12t - 6t，
2-1
因此v(1) = 12×1 - 6×1 = 6(m·s)，
v(2) = 12×2 - 6×22 = 0
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m． （3）质点的瞬时加速度大小为：a(t) = dv/dt = 12 - 12t，
因此1s末的瞬时加速度为：a(1) = 12 - 12×1 = 0，
-2
第2s内的平均加速度为：= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s)．
[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为，并由上述资料求出量值．
[证明]依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得
a = (n – 1)vo/t， (1)
22
根据速度与位移的关系式vt = vo + 2as，得 a = (n2 – 1)vo2/2s，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：．
-2
计算得加速度为：= (m·s)．
-1
1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成°的夹角的初速度65m·s从西边
-2
起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s．问：
（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ o [解答]方法一：分步法．
70m （1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为
图 vy0 = v0sinθ = (m·s-1)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at，
这里的v0就是vy0，a = -g；当人达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为
t1 = vy0/g = (s)．
22
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：vt - v0 = 2as，
2
可得上升的最大高度为：h1 = vy0/2g = (m)．
人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h2 = h1 + h = (m)．
2
根据自由落体运动公式s = gt/2，得下落的时间为:= (s)． 因此人飞越的时间为：t = t1 + t2 = (s)．
-1
人飞越的水平速度为;vx0 = v0cosθ = (m·s)， 所以矿坑的宽度为：x = vx0t = (m)．
-1
（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：vy = gt = (m·s)，
221/2-1
落地速度为：v = (vx + vy) = (m·s)，
与水平方向的夹角为：φ = arctan(vy/vx) = o，方向斜向下．
方法二：一步法．
取向上为正，人在竖直方向的位移为y = vy0t - gt/2，移项得时间的一元二次方程 ，
解得：．
这里y = -70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t = (s)．
由此可以求解其它问题．
1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大
2
小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为； （2）试证在时间t内，船行驶的距离为． [证明]（1）分离变数得， 故 ，
可得： ．
（2）公式可化为，
由于v = dx/dt，所以： 积分 ．
因此 ． 证毕．
[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．
22
由于a = dx/dt， 而 dx/dt = v， a = dv/dt， 分离变数得方程：， 解方程即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方
成正比，则
ndv/dt = -kv．
（1）如果n = 1，则得，
积分得lnv = -kt + C．当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0， 因此lnv/v0 = -kt，
-kt得速度为 ：v = v0e．
-kt而dv = v0edt，积分得：．
当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此． （2）如果n≠1，则得，积分得．
当t = 0时，v = v0，所以，因此． 如果n = 2，就是本题的结果． 如果n≠2，可得，读者不妨自证．
1．5 一质点沿半径为的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 3
4t．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
2-1
[解答]（1）角速度为ω = dθ/dt = 12t = 48(rad·s)，
2-2
法向加速度为 an = rω = (m·s)；
-2
角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s)，
-2
切向加速度为 at = rβ = (m·s)．
221/2
（2）总加速度为a = (at + an)，
222
当at = a/2时，有4at = at + an，即． 由此得，即 ， 解得 ． 所以 =(rad)．
222
（3）当at = an时，可得rβ = rω， 即： 24t = (12t)，
1/3
解得 ： t = (1/6) = (s)．
2
R
1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s，方向
-2
与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s，方向与水A 平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在
图
此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
y v0x = v0cosθ，
a ay v0y = v0sinθ．
O α ax 加速度的大小为ax = acosα， ay = asinα． θ v0x x 运动方程为， ． v0y v0 即 ，
．
令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t = 0（舍去）；(s)． 将t代入x的方程求得x = 9000m．
[注意]选择不同的坐标系，如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．
1．7 一个半径为R = 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 内下降的距离h = ．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．由于，
2-2
所以at = 2h/Δt = (m·s)．
-1
物体下降3s末的速度为v = att = (m·s)，
-2
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= (m·s)．
-2-1
1．8 一升降机以加速度·s上升，当上升速度为·s时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为． 由题意得h = h1 - h2，所以， 解得时间为= (s)．
算得h2 = ，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程
h = (a + g)t2/2，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
1．9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变．
（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为； （2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为； （3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为． [证明]（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v．
v （2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，
B A v 所以飞行时间为 ．
（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机
v + u
沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作向量三角形，A B v - u 其中沿AB方向的速度大小为，所以飞行时间为
． 证毕．
v u
-1
A u v
B
1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作向量三角形．根据题意得tanα = l/h．
方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα，
其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ， 因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα， l 即 ． 证毕．
h 方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得
，
所以： ，
θ v2 α h v3 α即 ． v⊥ l 方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水v1
平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为
l = (v1 – v2sinθ)t， h = v2cosθ?t．
两式消去时间t即得所求． 证毕．
第二章 运动定律与力学中的守恒定律
(一) 牛顿运动定律
2．1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t，．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
v0 ，
P 这是抛物线方程． α
B 2．2 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一品质m A = 2kg
图 的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为
μk = ，静摩擦因素为μs = ．求：
-2
（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；
Nm （2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
fm [解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．
板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm = mg = (N)， NM a 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：fm = ma = 2(N)，
fM 这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = (N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM = μkNM = (N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
θ v2 v1 图
