第1课时 有理数
基础知识
考点1 实数的分类与有关概念
?正整数????正整数???正有理数?整数?零??正分数?????有理数?有理数?零?负整数????负整数正分数??分数??负有理数??负分数??????负分数 ??
温馨提示:对于实数的分类,利用比较多的是按正、负分类。对于按正、负分类，在分类讨论及探索性问题中应用最多.
规律总结：判断一个实数的属性（如无理数、有理数等）应遵循：一化简、二辨析、三判断。要注意：“神似”而不是“形似”，①所有的有理数都能化成分数，无理数不能化成分数。如
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虽形似分数，但分子的3不是整数，因此它不是分数，而是一个无理数；② 要注意区2
分“0.525 525 525 525”与“0.525 525 525 525……”，前者是有理数，后者是无理数。③ 判断1
时要看结果而不是形式。如sin300=，tan450=1，25=5都是有理数。
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2．实数的有关概念
(1)a>0?a是正数；a 温馨提示：数轴上的点与实数是一一对应的。即数轴上的每一个点都有唯一的一个实数与它对应；反之，任何一个实数也能在数轴上找到唯一的点来表示。 ? 相反数： 只有符号不同的两个数是互为相反数，除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的。在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等。 ① 通常用a与?a表示一对相反数。 ② 若a与b互为相反数，则a+b=0。 ③ 互为相反数的两个数的绝对值相等，即|－a|=|a|。 ④ 若|a|=|b|，则a=b，或a=－b（a与b互为相反数）。 ? 绝对值： 由绝对值的几何意义可知：一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离。 - 1 - 因为距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即|a|≥0。 从绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数。 ① 若|a|=a，则a≥0； ② 若|a|=－a，则a≤0； ③ |a|≥0，绝对值的非负性。 ④ 互为相反数的绝对值相等，即|－a|=|a| 例：|－3|=|+3| ⑤ 若两个数绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。 即：|a|=|b|，则a=b或a=－b ⑥ 绝对值最小的数是0。 温馨提示： ① －a不一定表示负数，当a<0时，－a表示a的相反数，此时－a是一个正数。 ② 由定义可知一个数的绝对值是数轴上的点到原点的距离，这说明了有理数的绝对值是非负数，即对任意有理数a总有|a|≥0。 ③ 绝对值等于0的数一定是0，绝对值为正数m的数一共有两个，它们是m，－m，是互为相反数的两个数，绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数，即若|a|=|b|，则a=b，或a=－b。 ? 倒数与相反数： 倒数与相反数都是成对出现的，单独一个数不能称是倒数或相反数，互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反，0没有倒数，但是它有相反数。 1 ① 通常用a（a≠0）与表示一对倒数。 a② 倒数等于它本身的数是 ④ 。 ③ 零没有倒数。 (6) ⑤ 与数轴上的点是一一对应关系． ⑥ 叫做有理数. 易错警示:在有理数概念中，学生容易忽视无限循环小数也是有理数，例如就容易把它看作无理数. (7)无限不循环小数叫做 ⑦ ， 考点2 近似数、科学记数法与有效数字 0 的形式，1 位的正l．把一个大于10的数表示成 1○(其中a是整数数位只有 1○22 有的学生7 和 ⑨ 统称为实数． - 2 - 数，n是 )，所用的就是科学记数法．这里的n可以用原数的整数数位 13 1得到． ○2．把一个小于1的正数表示成 的形式(其中a是整数数位只有 位的正数，n是 )．所用的也是科学记数法，这里的n可以通过查看原数的第一个不是O的数前面的所有的 个数得到． 易错警示:对于一个近似数写成a×10n后，精确度跟10n有关。例如2.10×103就精确到十位,而2.10就精确到百分位;而有效数字只看a的部分,与10的乘方没有关系.如2.10×103与2.10的有效数字就相同了. 考点3 实数的大小比较的常用方法 1．数轴上的两个数 边的数总比 边的数大． 2．正数>0>负数；两个负数比较， 大的反而小． 3．a>b?a>b 4．差值法比较:(1)a－b>0?a>b；(2)a－b l. 0的任何非零正整数次幂都是 ． 2．a0= (a≠0)，ap= (a≠0)． － 温馨提示: a0是否有意义,中考命题时通常用来考察字母的取值范围. 3．实数运算法则 ? 有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）互为相反数的两个数相加得0。 （4）一个数同0相加仍得这个数。 规律总结：由加法法则可知，在进行有理数的加法运算时，应分两步：首先确定符号，然后再计算绝对值。 ? 有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 即：a－b=a+(－b)把减法运算转化为加法运算，体现了数学的转化思想。 规律总结：① 将减号变为加号，同时减数变成原来的相反数；② 按照加法法则进行计算. - 3 - ? 有理数乘法则 ① 两个不为零的有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零。 ② 有理数乘法法则的推广：多个不等于0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。多个有理数相乘时只要有一个是0，积为0。 易错警示：计算乘法时注意以下问题： ① 当因数是带分数时，应先化成假分数便于约分 ② 第一个因数是负数时，可以不加括号，但后面的负因数必须加括号 ③ 若几个有理数相乘时，有一个因数为0，则结果为0 ④ 尽量运用运算律，使计算简便准确 4．加、减、乘、除、乘方、开方运算中，运算顺序为(1)先乘方、开方再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左向右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．计算时，可以结合运算律，使问题简单化． 中考热点难点突破 例1.求绝对值小于5的非负整数？ 分析：从数轴上看，绝对值等于5的数有±5，绝对值小于5就是到原点的距离小于5，这样的整数有－4,－3,－2,－1,0,1,2,3,4，而非负整数有0，1，2，3，4。 解：绝对值小于5的非负整数是0，1，2，3，4。 点拨：理解绝对值的几何意义要注意：在求绝对值符合某些条件的数时，不要漏掉0或负数。 例2. 已知|x+1|+(y－4)2=0，求xy。 分析：根据绝对值和平方数的特性知|x+1|、(y－4)2都是非负数，而两个非负数的和为0，故|x+1|=0，且(y－4)2=0，从而x+1=0,y－4=0，即x=－1,y=4。 解：∵ x+1=0且y－4=0 ∴x=－1,y=4 ∴ xy=－1×4=－4 点拨：在解题中，我们经常用到绝对值的非负特性和平方数的非负特性。 - 4 -
