§1 级数的收敛性 级数的收敛性
例4 判断级数 ?n?1?1???n?n???nn?1nn的敛散性.
解 因为
??1?11????1???2??n???n??n???nn?????lim?lim?lim111n??n??n??n?nnnnnnnnnnn2????1n?1?0所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
数学分析 第十二章 数项级数 高等教育出版社 §1 级数的收敛性 级数的收敛性
1例5 运用级数收敛的柯西准则证明级数 2收敛. ?n证 由于
um?1?um?2??um?p11?2?2?(m?1)(m?2)1?(m?p?1)(m?p)1?2(m?p)11???m(m?1)(m?1)(m?2)1??11??1??????????mm?1??m?1m?2??11????m?p?1m???p?111?.??mmm?p数学分析 第十二章 数项级数 高等教育出版社 §1 级数的收敛性 级数的收敛性 ?1?因此, 对任意??0,可取N???,当m>N及任意正
???1整数 p,由上式可得 um?1?um?2??um?p???,m1依级数收敛的柯西准则,知级数?2收敛.
n
定理12.2 若级数?un与?vn都收敛,则对任意常
数c, d， 级数?(cun?dvn)亦收敛，且
?(cu高等教育出版社 n?dvn)?c?un?d?vn.数学分析 第十二章 数项级数 §1 级数的收敛性 级数的收敛性 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的 敛散性.
注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级 数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.
由定理12.3知, 若级数?un收敛, 其和为S, 则级数
n?1?un?1?un?2?L(8)也收敛，且其和Rn?S?Sn.(8)式称为级数?un的 Sn代替S 第 n 个余项(简称余项), 它表示以部分和 时所产生的误差.
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